Реверсные функции и распределения вероятностей случайного функционала-свертки от нормального марковского процесса
Вантажиться...
Дата
2018
DOI
Науковий ступінь
Рівень дисертації
Шифр та назва спеціальності
Рада захисту
Установа захисту
Науковий керівник
Члени комітету
Видавець
НТУ "ХПИ"
Анотація
Рассмотрен процесс, обладающий свойствами стационарности, нормальности и марковости. Для заданного временного интервала изучены энергетический функционал и функционал сверточного типа. При аналитическом рассмотрении задач теории вероятностей и математической статистики распространено допущение о том, что рассматриваемая задача получила своё разрешение, если построена характеристическая (производящая) функция. Однако, операция обратного преобразования Фурье или обратного преобразования Лапласа вызывает основные трудности в вычислительном отношении. Как числовая процедура преобразование Лапласа характеризуется неустойчивостью, степень которой увеличивается с ростом параметра преобразования. В работе предложен и использован подход для решения задачи статистики функционала, основанный на применении реверсных функций, что дало возможность получения аналитического выражения для производящей функции распределения случайных значений функционала-свертки. Проведен анализ статистических свойств функционала-свертки. Представлены математическое ожидание и дисперсия функционала-свертки. В данной работе плотность и интегральный закон распределения получены численно с помощью обратного преобразования Лапласа для выбранных значениях времени наблюдения 𝑇, декремента случайного процесса ν и его интенсивности σ𝑋 2 . Приведены зависимости плотности и функций распределения для заданных значений параметров функционалов. Из расчетов следует, что увеличение параметра 𝑇σ𝑋 2 приводит к расширению значений функционала-свертки в периферийные области больших уклонений. Уменьшение параметра ν𝑇 приводит к локализации значений функционала-свертки во флуктуационной области 𝑧 ≈ 0. Плотность 𝑓(𝑧) симметрична относительно 𝑧 = 0, имеет единственный максимум, две точки перегиба и экспоненциальную асимптотику на перифериях.
The process, which has the properties of stationary, normality and markovity, is considered. For a given time interval, an energy functional and a cross-functional are studied in this article. In analytic consideration of the problems of probability theory and mathematical statistics, the assumption is widespread that the problem in question has been resolved if the characteristic (generating) function is constructed. However, the operation of the inverse Laplace transform causes the computational difficulties. As a numerical procedure, the inverse Laplace transform is characterized by instability, the degree of which increases with the transformation parameter. An approach based on the application of the reverse functions was proposed and used, which made it possible to obtain an analytical expression for the generating function of the distribution of random values of the cross-functional in this article. The analysis of the statistical properties of the cross functional is carried out. The density of probability distribution and the integral distribution law are obtained numerically using the inverse Laplace transform for the selected values of the observation time 𝑇, the decrement of the process ν and its intensity σ𝑋 2 . The dependences of the density and distribution functions for given values of the parameters of functionals are given. It follows from the calculations that an increase in the parameter 𝑇σ𝑋 2 leads to the expansion of the values of the functional in the peripheral regions of large deviations. Reducing the parameter ν𝑇 leads to the localization of the values of the cross-functional in the fluctuation domain 𝑧 ≈ 0. The density 𝑓(𝑧) is symmetric with respect 𝑧 = 0. It has a unique maximum, two points of inflection, and an exponential asymptotic behavior on the periphery.
The process, which has the properties of stationary, normality and markovity, is considered. For a given time interval, an energy functional and a cross-functional are studied in this article. In analytic consideration of the problems of probability theory and mathematical statistics, the assumption is widespread that the problem in question has been resolved if the characteristic (generating) function is constructed. However, the operation of the inverse Laplace transform causes the computational difficulties. As a numerical procedure, the inverse Laplace transform is characterized by instability, the degree of which increases with the transformation parameter. An approach based on the application of the reverse functions was proposed and used, which made it possible to obtain an analytical expression for the generating function of the distribution of random values of the cross-functional in this article. The analysis of the statistical properties of the cross functional is carried out. The density of probability distribution and the integral distribution law are obtained numerically using the inverse Laplace transform for the selected values of the observation time 𝑇, the decrement of the process ν and its intensity σ𝑋 2 . The dependences of the density and distribution functions for given values of the parameters of functionals are given. It follows from the calculations that an increase in the parameter 𝑇σ𝑋 2 leads to the expansion of the values of the functional in the peripheral regions of large deviations. Reducing the parameter ν𝑇 leads to the localization of the values of the cross-functional in the fluctuation domain 𝑧 ≈ 0. The density 𝑓(𝑧) is symmetric with respect 𝑧 = 0. It has a unique maximum, two points of inflection, and an exponential asymptotic behavior on the periphery.
Опис
Ключові слова
стационарность, интегральные квадратичные функционалы, энергетический функционал, функционал сверточного типа, stationary, integral quadratic functional, energy functional, cross-type functional
Бібліографічний опис
Мазманишвили А. С. Реверсные функции и распределения вероятностей случайного функционала-свертки от нормального марковского процесса / А. С. Мазманишвили, А. Ю. Сидоренко // Вісник Національного технічного університету "ХПІ". Сер. : Системний аналіз, управління та інформаційні технології = Bulletin of the National Technical University "KhPI". Ser. : System analysis, control and information technology : зб. наук. пр. – Харків : НТУ "ХПІ", 2018. – № 44 (1320). – С. 9-14.