Про коливання осцилятора з кубічно-нелінійною жорсткістю

Abstract

Розглянуто вільні коливання системи з одним ступенем вільності за умови, що відновлююча сила пружини пропорційна кубу її деформації. Задіяно дві форми аналітичного розв’язку нелінійного диференціального рівняння. В першій формі розв’язок виражено через еліптичний косинус, а в другий – через періодичні Ateb-функції. Складено таблиці для обчислень значень цих функцій і побудовано в безрозмірних координатах графіки, які спрощують розрахунки переміщень осцилятора у часі. Виведено формули для обчислення періодів коливань при наданні осцилятору початкового відхилення від положення рівноваги або початкової швидкості (миттєвого імпульса) в цьому положенні. Наведено приклади розрахунків з використанням відомих таблиць неповного еліптичного інтеграла першого роду та з використанням складеної таблиці періодичних Ateb-функцій.

Free oscillations of a system with one degree of freedom are considered under the condition that the restoring force of spring elasticity is proportional to the cube of its deformation. Two forms of analytical solution of the nonlinear differential equation are used. In the first form, the solution is expressed in terms of an elliptic cosine, and in the second, through periodic Ateb-functions. The tables for calculating the values of these functions are constructed and plotted in dimensionless graphs coordinates, which simplify the calculations of the oscillator movements in time. Formulas are derived for calculating the oscillation periods when the oscillator sends the initial deviation from the equilibrium position or the initial velocity (instantaneous pulse) in this position. Examples of calculations using known tables of an incomplete elliptic integral of the first kind and using a compiled table of periodic Ateb-functions are given.