102 ISSN 2222-0631. Вісник НТУ «ХПІ». 2013. №54 (1027) 
УДК 519.6 
 
В.И. ГРИЦЮК, канд. техн. наук, доц., ХНУРЭ, Харьков1 
 
УСТОЙЧИВЫЙ МЕТОД ИДЕНТИФИКАЦИИ МОДЕЛИ 
 
Исследуется рекуррентный метод идентификации модели. Предлагается производить определе-
ние оптимального числа членов модели с использованием численно устойчивого метода ортого-
нализации. 
 Ключевые слова: численная устойчивость, метод ортогонализации. 
 
Введение. Сведение исходной задачи к задаче меньшей размерности 
приводит к сокращению объёма вычислений и повышению численной устой-
чивости метода. Применение идентификации модели системы в реальном 
времени необходимо для адаптации системы к изменяющимся условиям 
функционирования. 
Исследованием и развитием численных методов решения задач теории 
наименьших квадратов занимались Ч. Лоусон, Р. Хенсон. В настоящее время 
необходима разработка таких методов обработки информации, которые были 
бы численно устойчивые и позволяли получать более точные оценки. 
 
Целью настоящей работы является создание численно устойчивого ме-
тода, основанного на ортогональном разложении, позволяющего осущест-
вить идентификацию модели в реальном времени. 
 
Оценки коэффициентов в описании явлений находятся по данным 
пассивного эксперимента, когда переменные сильно коррелированны. 
Исследуем многомерный случай, рассмотренный в [1]. 
Пусть рассматриваемая модельная структура задается соотношением 
( , ) ( ) ,x X xβ βΘ =  
где ( , )x βΘ  − достаточно гладкая p −  мерная вектор-функция; ( )X x  − мат-
рица размера p m× , элементами которой служат функции ( )krh x , определен-
ные на интересующей нас области χ ; β  − неизвестный вектор параметров 
размера m . Оптимальная оценочная функция может быть представлена в виде 
( ) ( ) ( )ˆˆ ( ) ( ) .l l li iY x X x P G
∗ ∗ ∗=                                     (1) 
В (1) l∗  − это оптимальное число членов модели; матрица ( )lP ∗  состоит из ор-
тонормированных собственных векторов 1 2, , ..., ,lp p p ∗  соответствующих ле-
вым сингулярным векторам, расставленным в порядке невозрастания чисел в  
                                                          
1© В. И. Грицюк, 2013 
 ISSN 2222-0631. Вісник НТУ «ХПІ». 2013. №54 (1027) 103 
2 2 2
1 2( ) ( ) ... ( ) ,rq Y q Y q Y≥ ≥ ≥                                   (2) 
вектор 1(( ( )) , ..., ( ( )) )
T T T
nY Y x Y x= размера 1np× ; r  − ранг матрицы X  раз-
мера np m× , 
1( )
( )n
X x
X
X x
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
# ; 
число столбцов матрицы ( )lP
∗
 равно количеству чисел в (2), для которых 
выполняется условие (3) 
2 2( ) 1.iq Yσ − ≥                                                 (3) 
Определение оптимального числа членов может осуществляться по мере 
обработки поступающих данных наблюдения. Для повышения точности и 
устойчивости метода к матрицам с плохой обусловленностью, а также уве-
личения количества оцененных параметров или неопределённости входных 
данных, предлагается применить сингулярное разложение, позволяющее 
осуществить идентификацию модели в реальном времени. Цель состоит в 
том, чтобы путем ортогональных преобразований матрицу ковариаций P  
преобразовать в диагональную матрицу, при этом определяются сингуляр-
ные числа матрицы P , то есть ищутся преобразования Гивенса таким обра-
зом, что 
1/ 2
1 2 ,
T T
gG D U G D=  
где для сокращения времени счета используется модифицированный метод 
Гивенса без квадратных корней [2]. 
Для этой цели используем новые соотношения численно устойчивого 
модифицированного метода Гивенса. 
В случае преобразования произвольной матрицы 
1/ 2
1 1 2C GC D C= =  
для элементов с 0jib ≠  2C  – нижнетреугольной матрицы используем урав-
нение 
2 2 2
1 , , 2, ..., 1;k k N k N k Ml l d b k N− − −= + = −  
элементы iα  и ,j iβ  матрицы 2C  для j  строки вычисляются по формулам (4), 
(5): 
( 2) 2 2
2 , , 1,( ) / ,
N
i N j j M j i NN ib l d b b lα − − −= +                            (4) 
для j − й строки вычисляем коэффициенты 
( 1 )
, , , 1, , 1, , 1,, , .
N j
j i j i j M N i N M N i N i N MN ib b b b b b bβ β− − − − −= − = −          (5) 
Разработанная модификация метода Гивенса отличается тем, что в ней 
отсутствует извлечение квадратных корней и по сравнению с существующи-
  104 ISSN 2222-0631. Вісник НТУ «ХПІ». 2013. №54 (1027) 
ми методами требуется меньше вычислительных затрат. Данный метод обла-
дает высокой численной устойчивостью [1, 2, 4]. 
Следовательно, 
2
2 1 1 2 2 2 .
T T T T
g g gP UDU G D G G D G G D G= = =  
Сингулярное разложение вычисляется в два этапа. 
Рассмотрим сингулярное оценочное разложение ( svd  – сингулярное 
оценочное разложение) для новых прогнозных и изменяемых формулировок 
фильтра Калмана (Kalman). 
Чтобы получить сингулярное оценочное разложение ковариационной 
матрицы, применяются описанные трансформации Гивенса iG  для матрицы 
1/ 2 TD U , так что в итоге для рассмотренной ковариационной матрицы P  
верно: 
,T T T TGPG GUDU G BB= =  
при этом матрица TBB  на основании структуры TB  является симметричной 
трёхдиагональной матрицей. 
Сингулярные значения рассчитываются из соответствующей последней 
подматрицы TB B  размера 2 2× . Одна из таких подматриц iS  имеет вид: 
2
1 1
2
1 1 1 1
(1 )
(1 )
i i i i i
i
i i i i i
d l d d l
S
d d l d l
+ +
+ + + +
⎡ ⎤+⎢ ⎥= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
,                                   (6) 
с jd D∈  и jl  – околодиагональными элементами бидиагональной матрицы 
B . Характеристическое уравнение для расчета собственных значений 1,2λ  
матрицы iS , определённой равенством (6), имеет вид (7): 
2 2 2 2 2
1 1 1 10 (1 ) (1 ) (i i i i i i i i i id l d l d d l d l dλ λ λ λ+ + + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − + − − = − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦  
2 2 2 2
1 1 1 1 1) ( 1) ,i i i i i i i id l d d d l l l+ + + + ++ + + + +                          (7) 
откуда следуют формулы: 
2 2 2 2 2
1,2 1 1 1 1 1 1(1 ) 0,5( 4 ), (1 ) (1 )i i i i i i i i id l f f d d l f d l d lλ + + + + + += + + ± + = + − + .  (8) 
Так как сингулярное значение iσ  является наибольшим собственным 
значением по абсолютной величине, следует в (8) использовать знак «–» пе-
ред корнем, если 0f ≺ . С помощью сингулярного оценочного разложения 
iσ λ=  получается первая колонка QR − разложения 
1 1 2 2( , , 0, ..., 0) .
T
id d d lσ−                                        (9) 
Теперь происходит трансформация 0
TQ , которая преобразует второй 
элемент этого вектора (9) в нуль: 
 ISSN 2222-0631. Вісник НТУ «ХПІ». 2013. №54 (1027) 105 
1 1 2 2
0
1 2 2 1
( ) / /
,
/ ( ) /
iT
i
d d d l
Q
d d l d
σ α α
α σ α
⎡ ⎤−= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
                                (10) 
где в (10) 2 2 21 1 2 2( ) .id d d lα σ= − +  
В литературе называется в основном число циклов от 2m  до 5m , кото-
рые необходимо выполнить, чтобы все околодиагональные элементы стали 
меньше заданной границы точности [3]. Это число, естественно, зависит с 
одной стороны от величины границы точности, с другой стороны от способа 
вычисления сингулярных величин. В различных пробных расчетах алгоритм 
сингулярного оценочного разложения ковариационной матрицы требовал 
2,5m  циклов при границе точности 3010− . Этот метод предложен в качестве 
альтернативы преобразования Гивенса, если надо обрабатывать почти сингу-
лярные матрицы. В соответствии с теоретическим изложением сингулярного 
оценочного разложения это ортогональное преобразование в представленной 
здесь форме может быть использовано во всех новых TUDU  – формулиров-
ках вместо преобразования Гивенса, без модификации уравнений фильтра 
Калмана. 
 
Заключение. Таким образом, использование разработанного численно 
устойчивого метода позволяет получать более точные оценки и осуществлять 
идентификацию модели в реальном времени. Применение различных моде-
лей должно расширить область исследований. 
 
Список литературы 1. Gritsyuk V. I., Petrov E. G. Recursive stable algorithms for identification of 
time-varying systems //AMSE-ISIS'97 Proceedings, IOS Press, 1997. – P. 508 – 509. 2. Грицюк В. И. 
Улучшенные алгоритмы для оценки методом наименьших квадратов // Радиоэлектроника и ин-
форматика. – 1998. – №2. – С. 64 – 65. 3. Hotop H. J. Neue stabile und vektorisierbare Kalmanfliter- 
Algorithmen auf der Grundlage von Orthogonal Transformationen // DFVLR-FB. – Report №. DFVLR-
FB – 87 – 52, – 1987, – 206 s. 4. Грицюк В. И. Идентификация изменяющихся во времени систем с 
использованием устойчивых методов // Розвиток науки на сучасному етапі: Міжнародна заочна 
конференція: матеріали. – Київ, 2012. – Ч. 3. – С. 51 – 52. 
 
Поступила в редколлегию 21.10.2013 
 
 
 
УДК 519.6 
Устойчивый метод идентификации модели / В. И. Грицюк // Вісник НТУ «ХПІ». Серія: 
Математичне моделювання в техніці та технологіях. – Харків: НТУ «ХПІ», 2013. – №54 (1027). – 
С. 102 – 105. Бібліогр.: 4 назви. 
Досліджується рекурентний метод ідентифікації моделі. Пропонується проводити визна-
чення оптимального числа членів моделі з використанням чисельно стійкого методу ортогоналі-
зації. 
Ключові слова: чисельна стійкість, метод ортогоналізації. 
 
We investigate the recursive method of model identification. It is proposed to determine the op-
timal number of members of models using a numerically stable method of orthogonalization. 
Key words: numerical stability, the method of orthogonalization.