О решении краевых жесткопластических задач - Гринкевич, Владимир Александрович (НТУ "ХПІ", 2018)
Одной из главных проблем при решении краевых пластических задач является учет физической нелинейности деформируемых сред. На практике он сводится к применению различных итеративных процедур, таких как метод упругих решений, метод гидродинамических приближений, метод дополнительных напряжений и т. п. Ранее было сформулировано утверждение, гласящее, что для краевой жесткопластической задачи с корректно заданными граничными условиями существует разрешающая система уравнений, линейная относительно неизвестных данной задачи. Это позволяет не использовать итерационные вычислительные процедуры. Представляется, что данное утверждение применимо в тех случаях, когда граничные условия краевой жесткопластической задачи будут отличаться от граничных условий аналогичной линейно-вязкой задачи. Очевидно, что данное утверждение будет справедливым и в случае краевых упругопластических задач. Далее сделана попытка доказать однозначную определимость (детерминированность) вычисления компонентов тензора напряжений в рамках решения краевой жесткопластической задачи. Было сформулировано и доказано следующее утверждение: для любой краевой жесткопластической задачи с корректно заданными граничными условиями компоненты тензора напряжений однозначно определяются в любой точке тела в смысле нижней и верхней оценки. Сформулированы замечания, определяющие границы его применимости. Кроме того, было сформулировано еще одно утверждение: для любой краевой пластической задачи с корректно заданными граничными условиями и произвольной реологической зависимостью компоненты тензора напряжений и вектора перемещений (скоростей) однозначно определяются в любой точке тела в смысле нижней и верхней оценки. Произвольная реологическая зависимость означает, что интенсивность касательных напряжений является произвольной функцией материала (включая анизотропию), температуры, степени накопленной деформации сдвига, интенсивности деформации сдвига, интенсивности скоростей деформации сдвига. Приведенные выше утверждения позволяют обойти проблему существенной физической нелинейности деформируемых сред. Это позволяет линеаризовать краевую пластическую задачу.

One of the main problems in solving boundary plastic problems is to take into account the physical nonlinearity of deformable body. In practice, it comes down to the use of various iterative procedures, such as the method of elastic solutions, the method of hydrodynamic approximations, the method of additional stresses, etc. Earlier, a statement was formulated stating that for a boundary rigid-plastic problem with correctly defined boundary conditions, there exists a resolving system of equations that is linear with respect to the unknowns of this problem. This al lows not to use iterative computing procedures. It seems that this statement is applicable in those cases where the boundary conditions of the boundary rigid-plastic problem differ from the boundary conditions of a similar linear-viscous problem. Obviously, this statement will also be valid in the case of boundary elastic-plastic problems. Next, an attempt has been made to prove that the calculation of the components of the stress tensor is uniquely definable (deterministic) in the framework of solving the boundary rigid-plastic problem. The following statement was formulated and proved: for any boundary rigid-plastic problem with correctly defined boundary conditions, the components of the stress tensor are uniquely determined at any point of the body in the sense of the lower and upper estimates. The comments defining the limits of its applicability are formulated. In addition, another statement was formulated: for any boundary plastic problem with correctly defined boundary conditions and arbitrary rheological dependence of the stress tensor component and displacement vector (velocities) are uniquely determined at any point in the body in the sense of the lower and upper estimates. Arbitrary rheological dependence means that the intensity of tangential stresses is an arbitrary function of the material (including anisotropy), temperature, degree of accumulated shear strain, intensity of shear strain, intensity of shear strain rates. The above statements allow us to circumvent the problem of substantial physical nonlinearity of deformable body. This allows you to linearize the boundary plastic problem.
About solution of rigid-plastic boundary problems
Keywords: граничные условия; скорость; напряжения; метод упругих решений; анизотропия; boundary value problem; boundary conditions; velocity; stress