Дослідження стійкості нелінійних нормальних мод коливань дисипативної системи під впливом магнітного поля

Abstract

У статті проведено дослідження динаміки коливальної системи, що складається з двох маятників, з’єднаних пружним зв’язком і які знаходяться в магнітному полі. Розглядається випадок, коли маси маятників суттєво відрізняються. За наявності різних зовнішніх факторів, таких як магнітні сили та навантаження, які є в інженерних системах, аналіз режимів коливань у нелінійних системах ускладнюється. У цій роботі проведено аналіз пов’язаної нелінійної нормальної моди коливань у системі, що розглядається. Досліджується вплив зміни параметрів системи, як при малих, так і при великих початкових кутах відхилення маятників, на цю моду коливань. Для аналізу коливальних режимів використовувалися як аналітичний метод, а саме метод багатьох масштабів, так і чисельне моделювання на основі методу Рунге-Кутта четвертого порядку. Використовуються такі початкові умови розрахунку коливального режиму, що були визначені аналітично. Моделювання включає побудову фазових діаграм, траєкторій у конфігураційному просторі та спектрів, що дозволяє оцінити динаміку системи, включаючи як регулярні, так і складні режими коливань. Для вивчення стійкості коливального режиму використовується чисельно-аналітичний метод, пов’язаний із критерієм стійкості за Ляпуновим. Стійкість мод коливань визначається шляхом оцінки ортогональних відхилень стосовно відповідних траєкторій моди у конфігураційному просторі. Отримано області нестійкості на площинах та у просторі параметрів системи.

In the paper the dynamics of the vibrating system consisting of two pendulums connected by elastic coupling and located in a magnetic field is studied. A case is considered when masses of the pendulums differ significantly. Under the influence of various external factors, such as magnetic forces and loads, which are present in engineering systems, the analysis of vibration regimes in non-linear systems becomes more complex. Here the nonlinear normal connected vibration mode in a system under consideration is analyzed. We have investigated the influence of changes in system parameters on the vibration mode for both small and large initial angles of the pendulum deflection. Both the analytical method, namely, the method of many scales, and numerical simulations based on the fourth order Runge – Kutta method are used to analyze the vibration regimes. The initial conditions used to calculate this mode were determined analytically. The simulation includes construction of phase diagrams, trajectories in configuration space, and spectra, which allows us to evaluate the system dynamics, including both regular and complex regimes of vibrations. To study the stability of the vibration mode, a numerical-analytical method associated with the Lyapunov stability criterion is used. The stability of the mode is determined by assessing orthogonal deviations with respect to the corresponding modal trajectories in the configuration space. Regions of instability on planes and in the space of the system parameters are obtained.