Дискретно-контінуальна модель управління збутом у реальному масштабі часу

Abstract

Предметом дослідження є розробка стратегії динамічного управління цінами при реалізації продукції на фіксованому інтервалі часу. Розглянуто випадок, коли попит на продукцію продавця можна представити як комбінацію двох випадкових процесів: 1) пуассонівського потоку потенційних споживачів; 2) купівлі товару індивідуальним споживачем, ймовірність якої зворотно залежить від ціни продукції. Споживачі потребують щонайбільше одну одиницю товару, що продається і мають незалежні однаково розподілені оцінки його споживчої вартості. Така структура попиту дозволяє формалізувати вибір цінової стратегії як задачу оптимального управління. Рішення цієї задачі методами динамічного програмування наводить до системи диференційних рівнянь типу Ріккаті, розв’язок яких дозволяє отримати оптимальну цінову політику у вигляді функції від часу до закінчення терміну реалізації та рівня залишків нерозпроданої продукції. Розглянуто приклад практичного вирішення задачі оптимального управління цінами для окремих випадків, коли вдається знайти аналітичне рішення. Для загального випадку показано, як знайти оптимальні ціни за допомогою чисельних методів. Розрахунки свідчать, що оптимальні ціни є спадними функціями від часу та кількості нерозпроданої продукції. Комбінація цих факторів разом із випадковим характером збуту продукції наводять до досить складних траєкторій спостережуваних цін, приклади яких були отримані за допомогою імітаційних експериментів. Зокрема, в багатьох випадках результатом імплементації запропонованої стратегії є циклічна поведінка цін, розповсюдженість якої в роздрібній торгівлі є добре документованим феноменом. Також було розглянуто задачу оптимізації очікуваного доходу продавця при використанні ним постійних цін. Зіставлення очікуваного доходу продавця при статичних і динамічних цінах свідчить про значну перевагу останніх. Економічний ефект від використання динамічного ціноутворення є найбільш вагомим у ситуаціях, коли наближується остаточний строк реалізації продукції.

The subject of the research is the development of a strategy for dynamic price management when selling products over a fixed time interval. We consider the case when the demand for the seller's products can be represented as a combination of two random processes: 1) Poisson flow of potential consumers; 2) the purchase of goods by an individual consumer, the probability of which is inversely related to the price of the product. Consumers need at most one unit of the good and have independent equally distributed estimates of its consumer value. Such demand structure allows to formalize the choice of the optimal pricing strategy as an optimal control problem. Employing dynamic programming methods to solving this problem yields a system of Riccati differential equations. The optimal solution is obtained in the closedloop form as a function of the time to expiration of the product value and unsold inventory levels. Examples of a practical solution to the optimal pricing problem are given for special cases when it is possible to find an analytical solution. For the general case, it is shown how to find the optimal prices using numerical methods. Calculations show that optimal prices are decreasing functions of time and inventory levels. The combination of these factors, together with the random nature of the product sales, leads to rather complex observed price trajectories, examples of which were obtained using computer simulations. In particular, in many cases, the implementation of the proposed strategy results in cyclical price behavior, the prevalence of which in retail is well documented. The problem of optimizing the expected income of the seller when using constant prices was also solved. Comparison of the expected income of the seller under static and dynamic prices indicates a significant advantage of the latter. The economic effect of using dynamic pricing is most significant near the expiration of the product value.