Про апроксимації періодичних Ateb-функцій

Abstract

Запропоновано два варіанти апроксимаційних формул для періодичних Ateb-синуса і Ateb-косинуса в першій чверті їх періоду. Перший варіант – це наближення типу Паде, які одержано ітераційним способом при побудові аналітичного розвʼязку відповідного інтегрального рівняння зі згортанням степеневого ряду в замкнену суму за формулою Шенкса. Розглянуто два ітераційних наближення. Перше більш компактне, але має гіршу точність, що понижується із збільшенням значення аргументу. Щоб усунути цей недолік, додатково запропоновано гібридну апроксимацію, де обчислення значень Ateb-функцій на початку (для косинуса) і в кінці (для синуса) чверті їх періоду має проводитись за окремою формулою, що була одержана раніше асимптотичнимметодом. Порівняльний аналіз наближених і точних значень спеціальних функцій показав, що похибка запропонованих апроксимацій єменшою за один відсоток. Другий варіант наближення – це заміна періодичних Ateb-функцій тригонометричними функціями окремих аргументів, вибраних так, щоб значення спеціальних функцій були точними в деяких точках чверті періоду. В роботі виділено пʼять таких точок колокації. Для реалізації цього варіанту апроксимації складено окрему таблицю значень періодичних Ateb-функцій в точках колокації. Наведено приклади розрахунків, де показано, що і другий варіант апроксимації дає гарну точність наближеного обчислення значень спеціальних функцій.Two versions of approximation formulae for periodic Ateb-sine and Ateb-cosine in the first quarter of their common period are proposed. The first version is a Pade type approximation derived when constructing analytical solution of corresponding integral equation by iteration method with transforming the power series into a closed sum by Shanks’ formula. Two iteration approximations are considered. The first one is more concise but of worse approximation accuracy whichdeteriorates with increasingthe argument value. To improvethe approximation accuracy a hybrid approximation is proposed when the values of the Ateb-functions in the beginning (for the cosine) and in theend (for the sine) of the quarter period are computed by a separate formula obtained a priory by the asymptotic method. The comparison analysis of the approximate and exact values of the special functions indicates the error of the approximation proposed to be less than one per cent. The second variant of approximation is by replacing the periodic Ateb-functions by trigonometric functions of specific argument. The arguments are chosen so that the values of the special functions are exact at specific points of the quarter period. Five such collocation points are introduced in the paper. To implement this version of approximation a separate table of the values of the periodic Ateb-functions at the collocation points is compiled. The computational examples presented in the paper show the approximate values of the special functions obtained by the second version of approximation to have a good accuracy.