Дискретно-аналітичний метод розв'язання задач математичної фізики

Abstract

Обговорюються можливості специфічного підходу до розв’язання задач математичної фізики, які описуються лінійними диференціальними рівняннями. Для такого типу рівнянь накопичено значний об’єм розв’язків конкретних задач для так званих канонічних областей. Загальною характерною особливістю таких областей є те, що їх границя є координатною поверхнею в декартових, циліндричних, сферичних координатах. Саме в таких координатних системах для лінійних рівнянь накопичено значний досвід в побудові частинних розв’язків. Стаття присвячена дослідженню можливостей використання таких відомих частинних розв’язків при вирішенні задач пошуку кількісних характеристик фізичних полів в областях довільної форми. Аналіз наявних аналітичних розв’язків для канонічних областей дозволяє сформулювати нове поняття загального розв’язку граничної задачі для певного класу уже неканонічних областей. Специфічною рисою таких областей є те, що їх граничні поверхні формуються як частини координатних поверхонь в указаних координатних системах. При цьому принципово важливою є та обставина, що для лінійних рівнянь є справедливим принцип суперпозиції, коли будь-яка сума частинних розв’язків є також розв’язком граничної задачі. This paper discusses a specific approach to solving problems in mathematical physics as described by linear differential equations. For this class of equations, a substantial body of solutions has been developed for particular problems within so-called canonical domains. A common feature of these domains is that their boundaries coincide with coordinate surfaces in Cartesian, cylindrical, or spherical coordinate systems. Significant experience has been accumulated in constructing partial solutions for linear equations in these coordinate systems. The focus of the article is on exploring the potential of using these known partial solutions to solve problems involving the determination of quantitative characteristics of physical fields in domains of arbitrary shape. An analysis of existing analytical solutions for canonical domains enables the formulation of a new concept: a general solution for boundary value problems defined on a class of non-canonical domains. A distinctive feature of these domains is that their boundary surfaces are made up of segments of coordinate surfaces from different coordinate systems.