Побудова блокових інтеграторів для жорстких динамічних завдань із узгодженням порядків апроксимації при адаптації кроку

Abstract

У статті подано новий підхід до побудови і програмної реалізації блокових інтеграторів, орієнтованих на розв’язання жорстких динамічних завдань. Основну увагу приділено методам адаптації кроку інтегрування, у яких використовується відновлення значень в опорних блоках за допомогою Ермітової інтерполяції. Застосування інтерполянтів з кратними вузлами забезпечує збереження порядку апроксимації відновлених значень, який відповідає порядку основної розрахункової схеми. Для контролю кроку запропоновано кілька алгоритмів, заснованих на оцінці локальних похибок в точках розрахункового блоку, що збігаються. Порівняння значень у співпадаючих точках дозволяє точно регулювати крок інтегрування, мінімізуючи помилку при збереженні необхідної точності. Розглянуто основні теоретичні аспекти, включаючи узгодження порядків апроксимації при адаптації кроку, а також обчислювальні переваги застосування методу для жорстких завдань. Наведено результати чисельних експериментів, що демонструють ефективність запропонованих алгоритмів у порівнянні з традиційними методами, а також можливість їх застосування для вирішення жорстких завдань з високим ступенем точності. The article presents a new approach to the construction of integrators based on the use of multi-step block methods, aimed at solving hard dynamic problems. The main focus is on integration step adaptation schemes, where the restoration of new values in the support blocks is performed using Hermitian interpolation. The use of interpolants with multiple nodes ensures the preservation of the approximation orders of the restored values, corresponding to the orders of the main computational scheme. Several algorithms for step control are proposed, based on the estimation of local errors at coinciding points within the computational block. Comparison of values at these coinciding points allows for accurate adjustment of the integration step, minimizing error while maintaining the required accuracy. The main theoretical aspects are discussed, including the coordination of approximation orders during step adaptation and the computational advantages of applying the method to hard problems. Results of numerical experiments are presented, demonstrating the effectiveness of the proposed algorithms compared to traditional methods, as well as their applicability to solving hard problems with a high degree of accuracy.