Коливання, які описує модифіковане рівняння релея

Abstract

В статті досліджено варіанти коливального руху, який буде описувати відоме рівняння Релея, що відіграло важливу роль при моделюванні автоколивань, після заміни в ньому знаку дисипативної сили та введення там замість третього ступеня нелінійності довільного невід’ємного показника. Методом енергетичного балансу встановлено, що змінене таким чином рівняння руху, в залежності від значення показника нелінійності, може описувати різні варіанти коливань. Так рух зводиться до квазілійних автоколивань, коли показник ступеня менший одиниці. Їх амплітуда в усталеному режимі не залежить від початкових умов. Якщо показник степеня дорівнює одиниці, то лінійне рівняння може описувати усталені гармонічні коливання з амплітудою, що дорівнює початковому відхиленню системи від положення рівноваги або вільні коливання зі змінними розмахами. В залежності від знаку дисипативної сили розмахи або спадають або зростають з плином часу за експоненціальним законом. У другому випадку осцилятор втрачає стійкість. Якщо показник нелінійності у виразі дисипативної сили більший одиниці, то при «малих» початкових відхиленнях видозмінене рівняння описує вільні затухаючі коливання відносно нульового положення, а при «великих» стартових відхиленнях – коливання зі зростанням розмахів. Стійкий рух, спричинений «малим» стартовим збуренням, замінюється на втрату стійкості системи при «великих» збуреннях. Ці можливості рівняння типу Релея випливають не тільки із одержаних наближених аналітичних розв’язків, а також підтверджені чисельним інтегруванням модифікованого рівняння на комп’ютері. За підсумками такого інтегрування побудовано графіки коливань при різних варіантах руху. Вони стосуються конкретних розрахункових параметрів осциляторів і задовільно узгоджуються з результатами обчислень, за методом енергетичного балансу.The article explores the options for oscillatory motion, which will describe the well-known Rayleigh equation, which played an important role in modeling self-oscillations, after replacing the sign of the dissipative force in it and introducing an arbitrary inalienable index instead of the third degree of nonlinearity there. Using the energy balance method, it was found that the equations of motion changed in this way, depending on the value of the nonlinearity index, can describe various oscillation options. So the movement is reduced to quasilinear self-oscillations, when the exponent is less than unity. Their amplitude in steady state is independent of the initial conditions. If the exponent is equal to unity, then the linear equation can describe steady harmonic oscillations with an amplitude equal to the initial deviation of the system from the equilibrium position or free oscillations with variable ranges. Depending on the sign of the dissipative magnitude, the magnitude either decreases or increases over time according to the exponential law. In the second case, the oscillator loses stability. If the non-linearity index in the expression of the dissipative force is greater than unity, then for «small» initial deviations, the modified equation describes free damped oscillations relative to the zero position, and for «large» starting deviations, oscillations with increasing ranges. Stable motion caused by a «small» starting disturbance is replaced by system instability under «large» disturbances. These possibilities of an equation of Rayleigh type follow not only from the obtained approximate analytical solutions, but also are confirmed by numerical integration of the modified equation on a computer. Based on the results of this integration, oscillation graphs were constructed for various types of movement. They relate to specific design parameters of oscillators and are in satisfactory agreement with the results of calculations performed by the energy balance method.