Реализация и использование алгоритма Левенберга-Маркварда в задачах калибровки роботов-манипуляторов

Abstract

Розглянуто відоме завдання калібрування довільного робота-маніпулятора, яке сформульовано у найзагальнішому вигляді. Для вирішення прямої задачі кінематики запропоновано альтернативний спосіб Денавіта-Хартенберга універсальний аналітичний опис кінематичної схеми з урахуванням можливих похибок виготовлення та збирання деталей робота. При цьому запропоновано універсальний опис похибок орієнтації осей шарнірних зчленувань ланок. На основі такого опису може бути проведене рішення прямої та зворотної задачі кінематики роботів як просторових механізмів з урахуванням спотворень розмірів, положення осей зчленувань та положень нулів кутів їх повороту. Завдання калібрування маніпуляторів сформульовано як завдання методу найменших квадратів. Отримано аналітичні формули цільової функції методу найменших квадратів для вирішення поставленого завдання. Шляхом аналітичного диференціювання за допомогою спеціальної системи комп'ютерної алгебри КіДиМ отримані вирази для вектора градієнта та гесіана цільової функції прямого алгоритму, алгоритмів Ньютона-Гаусса і Левенберга-Марквардта. Автоматично згенеровані процедури мовою С++ розрахунку елементів градієнта та гесіана. На прикладі проектованого кутового 6- ступеневого робота-маніпулятора наведено результати моделювання рішення задачі його калібрування, тобто визначення 36-ти невідомих кутових і лінійних похибок. Проведено порівняння розв'язання задачі калібрування для змодельованих 64 та 729 експериментів, у яких узагальнені координати – кути в зчленуваннях приймали значення ±90° та -90°, 0, +90°.

The well-known problem of calibration of an arbitrary robotic manipulator, which is formulated in the most general form, is considered. To solve the direct problem of kinematics, an alternative to the Denavit-Hartenberg method, a universal analytical description of the kinematic scheme, taking into account possible errors in the manufacture and assembly of robot parts, is proposed. At the same time, a universal description of the errors in the orientation of the of the articulated joints of the links is proposed. On the basis of such a description, the direct and inverse problem of kinematics of robots as spatial mechanisms can be solved, taking into account the distortions of dimensions, the position of the axes of the joints and the positions of the zeros of the angles of their rotation. The problem of calibration of manipulators is formulated as a problem of the least squares method. Analytical formulas of the objective function of the least squares method for solving the problem are obtained. Expressions for the gradient vector and the Hessian of the objective function for the direct algorithm, Newton-Gauss and Levenberg-Marquardt algorithms are obtained by analytical differentiation using a special computer algebra system KiDyM. The procedures in the C ++ language for calculating the elements of the gradient and hessian are automatically generated. On the example of a projected angular 6-degree robot-manipulator, the results of modeling the solution to the problem of its calibration, that is, determination of 36 unknown angular and linear errors, are presented. A comparison is made of the solution of the calibration problem for simulated 64 and 729 experiments, in which the generalized coordinates - the angles in the joints took the values ±90° and -90°, 0, +90°.