Принцип мінімуму додаткової енергії для кабельних мереж відносно векторної змінної сили

Abstract

Запропоновано альтернативний підхід до варіаційної постановки задачі статичної рівноваги для кабельних мереж. Отримано спряжений принцип мінімуму стосовно силових змінних. Повний вектор сили в елементі кабеля обрано як спряжену змінну. На відміну від запропонованих раніше постановок задачі з використанням скалярної змінної осьової сили, пружна енергія зберігає найбільш загальний вигляд до останніх кроків. Вона лише має залишатися опуклою функцією вектора подовження. У результаті негладкий асиметричний відгук кабелю не проявляється у вигляді нерівності на самому початку. Замість цього він з’являється в остаточній формі функціоналу додаткової енергії, який виявляється недиференційованим для нульових сил. Таке формулювання забезпечує гнучкість і, таким чином, може бути потенційно поширене на такі явища як тертя між волокнами та адгезія.An alternative approach to the variation formulation of static equilibrium problem for cable networks is proposed. The dual minimization principle is derived in terms of force variables. The full vector force in the cable member is chosen as the dual variable. Unlike the previously proposed treatments of the problem using the scalar axial force variable the elastic energy retains the most general form until the closing steps. It is only assumed to be a convex function of the member end-to-end vector. As a result the nonsmooth asymmetric response of the cable does not appear in the form of inequality in the very beginning. Instead it shows up in the final form of the complementary energy functional, which turn out to be non-differentiable for zero member forces. The kinematic relations between member elongations and nodal displacements convert into the force equilibrium conditions in terms of nodal reactions and member force vectors. The Dirichlet boundary conditions appear in the dual form as a linear term in the complementary energy functional. For the linear elastic cables this approach lead to a second-order cone optimization problem with two sets conical constraints. Such formulation provides flexibility and thus can be potentially extended to account for phenomena such as inter-fiber friction and adhesion.