Дослідження резонансних стаціонарних режимів та перехідних процесів у нелінійних системах з обмеженою потужністю

Abstract

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії за спеціальністю 113 – Прикладна математика. – Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут». – Україна, Харків, 2023. Об'єкт дослідження – динаміка систем з обмеженим збудженням в околі резонансу між частотами збудження та пружної підсистеми. Предмет дослідження – аналіз стаціонарних резонансних режимів коливань та перехідних процесів в системах з обмеженим збудженням, які моделюються динамічними системами з трьома степенями свободи. В дисертаційній роботі розглядається динаміка деяких систем з обмеженим збудженням в околі резонансу. До систем з обмеженим збудженням (або неідеальних систем) відносяться такі системи, де зворотній вплив пружних елементів системи на джерело енергії є суттєвим. Зокрема, до таких систем можна віднести системи, де потужність двигуна є не дуже значною. В таких системах збудження залежить від переміщень збудженої пружної підсистеми. На початку 20 сторіччя відомий німецький фізик А.Зоммерфельд вперше описав ефект значних резонансних коливань, коли значна частина енергії двигуна уходить на підтримання цих резонансних коливань, що заважає виходу двигуна на номінальні оберти. Вже в 50-ті роки минулого сторіччя відомий український вчений В.О. Кононенко дав перший аналітичний опис ефекту Зоммерфельда. Після цього дослідження в цьому напряму продовжував як В.О. Кононенко, так і інші вчені. Кількість робот з динаміки неідеальних систем значно поширилась в останні роки. В дисертаційній роботі розглянуто три моделі неідеальних систем. Одна з них – це модель, що містить джерело енергії, пружну підсистему та маятниковий гаситель коливань. Інші системи пов’язані з динамікою портальної системи (яка представлена пружною підсистемою), ротора та неврівноваженої маси в 3 якості гасителя. Для однієї моделі обрано суттєво нелінійний зв’язок між вказаною масою та портальною рамою, для іншої в цей зв’язок додано лінійну складову. Всі моделі описано нелінійними системами з 3 степенями свободи. Методом багатьох масштабів побудовано стаціонарні резонансні режими коливань систем, що розглядаються. Далі з використанням апроксимацій Паде побудовано перехідні процеси. За допомогою чисельного моделювання досліджується можливість зменшення резонансних пружних коливань шляхом зміни параметрів вказаних систем. В першому розділі дисертаційної роботи зроблено огляд історії досліджень систем з обмеженою потужністю та огляд сучасного стану цієї проблеми. Описано також проблему розвитку асимптотичних методів, які активно використовуються для аналітичного дослідження нелінійних систем. Зроблено також огляд проблеми гасіння коливань, здебільшого шляхом використання пасивних динамічних гасителів, серед яких можуть бути маятникові гасителі, елементи у вигляді ферми Мізеса, віброударні елементи, суттєво нелінійні осцилятори та ін. В другому розділі роботи дано опис основних моделей, що розглядаються, зокрема, представлено відповідні рівняння руху у вигляді нелінійних систем з 3 степенями свободи. Обговорюється введення в ці рівняння малого параметру, що важливо для подальшого використання асимптотичного аналізу. Дана інформація щодо ефективності методу багатьох масштабів, який використовується в роботі для побудови стаціонарних режимів руху, та апроксимацій Паде, які використано для побудови перехідних процесів. Представлена також інформація відносно комп’ютерних програм, які використовуються для моделювання стаціонарних та перехідних режимів та для вибору таких параметрів систем, які дозволяють зменшити амплітуди коливань. Третій розділ роботи присвячено побудові стаціонарних режимів руху систем з обмеженою потужність при наявності резонансу 1:1. Методом багатьох масштабів отримано амплітуди коливань як функції параметрів 4 системи, які можуть бути знайдені з системи нелінійних алгебраїчних рівнянь, яка розв’язується методом Ньютона. Зроблено порівняння отриманих аналітичних результатів з результатами чисельного моделювання, яке продемонструвало достатньо високу точність цих результатів. В четвертому розділі розглядається побудова перехідного процесу у вказаних вище системах. Вводяться нові змінні для ефективного представлення перехідних процесів; крім того, розв’язки рівнянь, отриманих раніше методом багатьох масштабів, представлено в степеневих рядах. Далі ці ряди використовуються при побудові дробно-раціональних апроксимацій Паде, що містять експоненти. При цьому використовується також додаткова умова наближення перехідних процесів до побудованих раніше стаціонарних резонансних режимів. Чисельне моделювання показало достатньо високу точність запропонованого представлення перехідного процесу. Комп’ютерне моделювання демонструє, що навіть при наявності інших резонансів, в розглянутих системах найважливішим є саме резонанс 1:1. П’ятий розділ роботи присвячено аналізу можливості зменшення амплітуд стаціонарних резонансних коливань шляхом зміни параметрів систем, що зроблено шляхом комп’ютерного моделювання. Виділено ті параметри, які є найбільш вагомі для вказаного зменшення амплітуд. Зокрема, для всіх розглянутих систем дуже важливим для цього виявився параметр нелінійності в характеристиках пружних елементів систем, що розглядаються. Саме зростання цього параметру приводить до суттєвого зменшення амплітуд пружних коливань.The dissertation on competition of a scientific degree of the doctor of philosophy on a specialty 113 – Applied mathematics. – National technical university "Kharkiv polytechnic institute". – Ukraine, Kharkiv, 2023. The object of study is a dynamics of the systems with limited power supply in the vicinity of the resonance between frequencies of excitation and elastic subsystem. The subject of the research is an analysis of the resonance steady states and transient in systems with limited power supply, which are modelled by dynamical systems having three degrees of freedom. In the dissertation the dynamics of some systems with limited excitation in the vicinity of resonance is considered. Systems with limited power supply (or non-ideal systems) include such systems where the reverse influence of the elastic elements of the system on the energy source is significant. In particular, such systems include systems where the motor power is not very significant. In such systems, the excitation depends on the movements of the excited elastic subsystem. At the beginning of the 20th century, the famous German physicist A. Sommerfeld first described the effect of large amplitude resonant oscillations, when a significant part of the motor's energy goes into maintaining these resonant oscillations, which prevents the motor from reaching its nominal speed. Already in the 50s of the last century, the famous Ukrainian scientist V.O. Kononenko gave the first analytical description of the Sommerfeld effect. Then investigations in this direction were continued as by V.O. Kononenko, as well by other scientists. The number of works on the dynamics of non-ideal systems has increased significantly in recent years. Three models of non-ideal systems are considered in the dissertation. One of them is a model containing an energy source, an elastic 3 subsystem and a pendulum damper. Other systems are related to the dynamics of the portal frame (which is represented by an elastic subsystem), the rotor, and the unbalanced mass as a damper. For one model, a significantly nonlinear relationship between the unbalanced mass and the portal frame was chosen, for the other one, a linear component was added to this relationship. All models are described by nonlinear systems with 3 degrees of freedom. Stationary resonance modes of oscillations of the systems under consideration were constructed by the multiple scales method. Next, transient is constructed using Padé approximants containing exponents. With the help of numerical modeling, the possibility of reducing resonant elastic oscillations by changing the parameters of the specified systems is analyzed. In the first Section of the dissertation, an overview of the history of research into systems with limited power supply and an overview of the current state of this problem is made. The problem of the development of asymptotic methods, which are actively used for the analytical study of nonlinear systems, is also described. An overview of the problem of vibration damping is also presented, mostly by using passive dynamic dampers, which may include pendulum dampers, elements in the form of a Mises truss, shock elements, significantly nonlinear oscillators, etc. In the second section of the work, a description of the main models under consideration is given. In particular, the corresponding equations of motion in the form of nonlinear systems with 3 degrees of freedom are presented. The introduction of a small parameter into these equations is discussed, which is important for the further use of asymptotic analysis. Information is given on the effectiveness of the multiple scales method used in the work to construct stationary modes of motion, and on the Padé approximations used to construct transients. Information is also presented regarding computer programs that are used to simulate stationary and transient modes and to select such system parameters that allow reduce the amplitudes of oscillations. 4 The third section of the work is devoted to the construction of stationary regimes of systems with limited power in the presence of 1:1 resonance. The amplitudes of oscillations as a function of the system parameters, which can be found from the system of nonlinear algebraic equations solved by Newton's method, are obtained by the method of many scales. A comparison of the obtained analytical results with the results of numerical modeling was made, which demonstrates a sufficiently high accuracy of these results. The fourth section examines the construction of the transient in the abovementioned systems. New variables are introduced to effectively represent transient processes; in addition, the solutions of the equations previously obtained by the method of many scales are presented in power series. Further, these series are used in the construction of the fractional-rational Padé approximants. At the same time, the additional condition of the approach of the transient to previously constructed stationary resonance modes is also used. Numerical modeling shows a sufficiently high accuracy of the proposed representation of the transient. Computer simulations demonstrate that even in the presence of other resonances, the most important is the 1:1 resonance in the considered systems. The fifth section of the work is devoted to the analysis of the possibility of reducing the amplitudes of stationary resonant oscillations by changing the system parameters, which is done by computer simulation. Those parameters that are the most significant for the indicated reduction of amplitudes are highlighted. In particular, for all the considered systems, the parameter of nonlinearity in the characteristics of the elastic elements of the considered systems turned out to be very important for this. It is the growth of this parameter that leads to a significant decrease in the amplitudes of elastic oscillations.