Визначення змінних стану дискретного пневмоприводу шляхом використання методу січних при лінеаризації математичної моделі

Abstract

Пневмопривід як термодинамічна система описується з урахуванням принципів «термодинамики тіла змінної маси». При описі термодинамічних і газодинамічних процесів у пнемоприводах склалися дві наукові школи: дослідники першої школи представляють процеси в порожнинах приводу як політропічні процеси зі змінним показником політопи, а другі- розглядають процеси спираючись на рівняння енергетичного (теплового) балансу газа у незамкнених поржнинах. Авторами досліджується нелінійна математична модель, отримана на уявленнях другої школи. У цілях скорочення числа незалежних парметрів, визначальних характер перехідного процеса у приводі, здійснено перехід до безрозмірної формі рівнянь, проведений з урахуванням принципу мінімізації безрозмірних комплексів (критеріїв динаамічного подоби), визначальних характер перехідного процесу. Завдання лінеаризації нелінійної моделі ставилося з метою отримання на основі лінійної моделі аналітичних виразів для всіх змінних станів, які дозволять уникнути при розрахунках чисельних крокових методів інтегрування вихідної нелінійної моделі. Показано, що заміна нелінійних залежностей першими членами їх розкладання до ряду Тейлора (метод дотичної), яка практикується для слідкувальних гідропневмоприводів по відношенню до дискретних приводів призводить до великих похибок. Запропонована лінепризація методом січних з вибором оптимальної форми сіючої дозволила значно підвищити розрахункову точність лінійної математичної моделі. та отримати в аналітичній формі змінні стани пневмоприводу.Проведені розрахунки за лінійною моделлю другого порядку переконливо свідчать, що вона цілком адекватна розрахункової точності нелінійної математичної моделі. У всьому діапазоні найімовірніших параметрів розрахункова точність математичної моделі другого порядку є цілком достатньою для практичного використання. Таким чином, виключається необхідність залучення крокових чисельних методів інтегрування рівнянь нелінійної моделі та організації обчислювального процесу на ЕОМ.

The pneumatic drive as a thermodynamic system is described based on the principles of "thermodynamics of a body of variable mass". In describing thermodynamic and gas-dynamic processes in pneumatic drives, two scientific schools have developed: researchers of the first school represent processes in the cavities of the drive as polytropic processes with a variable polytropic index, and the second consider processes based on the equation of energy (heat) balance of the gas-pneumatic drive in an open space. The authors investigate a nonlinear mathematical model obtained on the concepts of the second school. In the cycles of reducing the number of independent parameters that determine the nature of the transient process in the drive, a transition to a dimensionless form of equations is carried out based on the principle of minimizing dimensionless complexes (dynamic similarity criteria) that determine the nature of the transient process. The task of linearization of the nonlinear model was set with the purpose of obtaining analytical expressions for all state variables based on the linear model, which will allow avoiding the numerical step methods of integration of the original nonlinear model in calculations. It is shown that the replacement of nonlinear dependencies by the first terms of their expansion in a Taylor series (the tangent method), which is practiced for servo hydraulic pneumatic drives, leads to large errors in relation to discrete drives. The proposed linearization by the secant method with the choice of the optimal form of the sowing allowed to significantly increase the calculated accuracy of the linear mathematical model. and obtain the state variables of the pneumatic drive in analytical form. The calculations performed using the second-order linear model convincingly indicate that it is quite adequate to the calculated accuracy of the nonlinear mathematical model. In the entire range of the most probable parameters, the calculated accuracy of the second-order mathematical model is quite sufficient for practical use. Thus, the need to use step-by-step numerical methods for integrating the equations of a nonlinear model and organizing the computational process on a computer is eliminated.