Про вільні коливання осцилятора з кубічно нелінійною силовою характеристикою

Abstract

Описано нелінійні коливання системи з одним ступенем вільності, що має лінійну (від'ємну) і кубічну (додатну) складові у виразі силової характеристики, при позитивному переміщенню системи. Розглянуто три можливих режими руху, в залежності від наданої амплітуди коливань в момент початку руху. Два з них проходять відносно центру, в положенні стійкої рівноваги, а третій - відносно сідлової точки, в положенні нестійкої рівноваги. Побудовано замкнуті аналітичні розв'язки нелінійної задачі Коші, з використанням періодичних еліптичних функцій. Запропоновано наближені подання вказаних спеціальних функцій комбінацією елементарних функцій, що спрощує використання аналітичних розв'язків. Наведено чисельні приклади розрахунків, де показано, що результати обчислень на підставі одержаних розв'язків добре узгоджуються з результатами числового комп'ютерного інтегрування рівняння руху.The paper deals with nonlinear oscillations of a system with one degree of freedom having a linear (negative) and a cubic (positive) components in the power characteristic under the positive motion of the system. Three possible motion modes depending on the oscillation amplitude communicated at the beginning of the motion are considered. Two of the motion modes are at the vicinity of the center, which is a stable equilibrium point, and the third one is at the vicinity of the saddle point, which is a point of unstable equilibrium. Closed analytical solutions for the nonlinear Cauchy problem are obtained using periodic elliptic functions. Approximations of the elliptic functions by a combination of elementary functions arepresented which simplifies applying the analytical solutions in computations. The examples of numerical computations given in the paper confirm good compliance of the computational results based on the obtained solutions with the results of numerical computer integration of the equation of motion.