Нестаціонарні коливання миттєво навантаженого осцилятора в умовах нелінійного опору

Abstract

Розглянуто рух осцилятора, миттєво навантаженого сталою силою в умовах нелінійного зовнішнього опору, складовими якого є квадратичний в’язкий опір, сухе та позиційне тертя. Використовуючи перший інтеграл рівняння руху та функцію Ламберта, виведено компактні формули для обчислень розмахів коливань. З метою спрощення пошуку значень функції Ламберта наведено асимптотичні формули, які з похибкою меншою одного відсотка виражають цю спеціальну функцію через елементарні функції. Показано, що внаслідок дії сили опору, що включає сухе тертя, процес коливань має скінченну кількість циклів і обмежений у часі, бо осцилятор попадає в область застою, яка знаходиться в околі статичного відхилення осцилятора, спричиненого прикладеною зовнішньою силою. Коефіцієнт динамічності системи менший двох. Розглянуто приклади розрахунків, що ілюструють можливості викладеної теорії. Крім аналітичного дослідження, проведено чисельне комп’ютерне інтегрування, диференціального рівняння руху. Встановлено повну збіжність результатів, одержаних за допомогою виведених формул і чисельним інтегруванням, чим підтверджено, що використовуючи аналітичні розв’язки можна без чисельного інтегрування нелінійного диференціального рівняння визначати екстремальні переміщення осцилятора. Для спрощення розрахунків рекомендована також література, де надруковано таблиці функції Ламберта, що дають можливість знаходити її значення інтерполяцією табличних даних. В умовах нелінійного зовнішнього опору, складовими якого є квадратичний в’язкий опір, сухе та позиційне тертя процес коливань миттєво навантаженого осцилятора має обмежену кількість циклів. Отримані у роботі залежності з використанням функції Ламберта дають можливість визначати розмахи коливань без чисельного інтегрування нелінійного диференціального рівняння руху як для осцилятора з квадратичним в’язким опором і сухим тертям, так і для осцилятора з квадратичним опором та позиційним і сухим тертям.

The motion of an oscillator instantaneously loaded with a constant force under conditions of nonlinear external resistance, the components of which are quadratic viscous resistance, dry and positional friction, are considered. Using the first integral of the equation of motion and the Lambert function, compact formulas for calculating the ranges of oscillations are derived. In order to simplify the search for the values of the Lambert function, asymptotic formulas are given that, with an error of less than one percent, express this special function in terms of elemen tary functions. It is shown that as a result of the action of the resistance force, including dry friction, the oscillation process has a finite number of cycles and is limited in time, since the oscillator enters the stagnation region, which is located in the vicinity of the static deviation of the oscillator caused by the applied external force. The system dynamic factor is less than two. Examples of calculations that illustrate the possibilities of the stated theory are considered. In addition to analytical research, numerical computer integration of the differential equation of motion was carried out. The complete convergence of the results obtained using the derived formulas and numerical integration is established, which confirms that using analytical solutions it is possible to determine the extreme displacements of the oscillator without numerical integration of the nonlinear differential equation. To simplify the calculations, the literature is also recommended, where tables of the Lambert function a re printed, allowing you to find its value for interpolating tabular data. Under conditions of nonlinear external resistance, the components of which are quadratic viscous resistance, dry and positional friction, the process of oscillations of an instantly loaded oscillator has a limited number of cycles. The dependences obtained in this work using the Lambert function make it possible to determine the range of oscillations without numerical integration of the nonlinear differential equation of motion both for an oscillator with quadratic viscous resistance and dry friction, and for an oscillator with quadratic resistance and positional and dry friction.