Сучасний алгоритм лінійного та квадратичного програмування в оптимізації та задачах деформування конструкцій змінної структури в умовах контактування

Abstract

Різноманітні математичні задачі, в яких поставлена мета пошуку екстремуму функціоналу, відносяться до задач математичного програмування, задач оптимізації. Практично спрямованих проблем пошуку оптимального рішення надзвичайно багато в економіці, управлінні, техніці та інших. Вони пов’язані з підвищенням ефективності виробництва, зниженням витрат ресурсів, удосконаленням конструктивних рішень та технологічних процесів, зниженням маси, габаритів тощо. Серед них важлива роль приділяється методам обмеження максимальних напру- жень, обумовлених зовнішніми навантаженнями. Розв'язання таких задач розпочинається з математичної формалізації. В якості параметрів варіювання вибирають конструктивні, економічні або технологічні показники. Пошук найкращого рішення зводиться до підбору сукупності параметрів, які надають стаціонарне значення функції цілі. Екстремальні задачі практичної орієнтації містять в математичних моделях обмеження типу рівності-нерівності. В поліпшенні технічних характеристик машин суттєва роль належить інженерно-технічним працівникам, які на етапі проектування знаходять оптимальні варіанти. При цьому суттєвим елементом процесу проектування є моделювання визначальних процесів в конструкціях з врахуванням основних факторів впливу та сценаріїв поведінки. Оптимізація – важливий напрямок прикладної математики, який надає ефективні інструменти проведення такого моделювання. В роботі [3] запропоновано Universal Algorithm − чисельну схему рішення задач квадратичного програмування (КП), для обчислення оптимальної точки широкого кола прикладних задач. При цьому задача лінійного програмування (ЛП) розглядається як частинний випадок задачі (КП). Тобто в універсальному алгоритмі постановки 2-х задач оптимізації формалізовані в єдиній та зручній формі симетричної матричної залежності, що дає змогу побудувати єдиний ефективний алгоритм на базі операцій матричної алгебри. Зокрема, дозволяє розглядати практичні задачі обчислення НДС в конструкціях змінної структури, що складаються з окремих частин пов’язаних односторонніми зв’язками. Основна ціль даної роботи в аналізі поведінки алгоритму при збільшенні кількості обмежень типу нерівності, уточненні обчислювальної схеми, формулюванні висновків. В якості прикладів роботи алгоритму розглянуті дві модельні задачі. Це класична "транспортна" задача ЛП та поведінка моделі мостової споруди з односторонніми зв’язками у вантах при варіаціях вітрових навантажень. Кількість вант збільшена до 20 а обмежень нерівностей до 40.Various mathematical problems, in which the goal of finding the extremum of a functional is set, belong to the problems of mathematical programming and optimization problems. Practically directed problems of finding the optimal solution are extremely numerous in economics, management, technology, and others. They are related to increasing production efficiency, reducing resource costs, improving design solutions and technological processes, reducing mass, dimensions, etc. Among them, an important role is given to the methods of limiting the maximum stresses caused by external loads. Solving such problems begins with mathematical formalization. Constructive, economic or technological indicators are chosen as variation parameters. The search for the best solution is reduced to the selection of a set of parameters that provide a stationary value of the objective function. Extreme problems of practical orientation contain equality-inequality constraints in mathematical models. In improving the technical characteristics of machines, a significant role belongs to engineering and technical workers, who find optimal options at the design stage. At the same time, an essential element of the design process is the modeling of the determining processes in structures, taking into account the main influencing factors and behavior scenarios. Optimization is an important area of applied mathematics that provides effective tools for such modeling. Universal Algorithm is proposed in work [3] – a numerous scheme for solving quadratic programming (QP) problems for calculating the optimal point of a wide range of applied problems. At the same time, the linear programming (LP) problem is considered as a partial case of the (QP) problem. That is, in the universal algorithm for setting 2 optimization problems, they are formalized in a single and convenient form of symmetric matrix dependence, which makes it possible to build a single effective algorithm based on matrix algebra operations. In particular, it allows you to consider the practical tasks of calculating VAT in constructions of a variable structure consisting of separate parts connected by one-way connections. The main goal of this work is to analyze the behavior of the algorithm when increasing the number of constraints of the inequality type, to refine the computational scheme, and to formulate conclusions. Two model problems are considered as examples of the algorithm. This is a classic "transport" problem of LP and the behavior of a model of a bridge structure with one-way connections in cables under variations of wind loads. The number of ropes has been increased to 20, and the limits of one-way connections to 40.