Обернена задача для балки Тимошенко з додатковою в’язко-пружною опорою при нестаціонарному деформуванні

Abstract

Розглядається нестаціонарне навантаження механічної системи, яка складається з балки, шарнірно-обпертої по краях, і додаткової опори, встановленої в прольоті балки. Деформування балки моделюється на основі гіпотез С. П. Тимошенка з урахуванням інерції обертання та зсуву. Деформування балки описується системою диференціальних рівнянь у частинних похідних, яка розв’язується аналітично за допомогою розкладання шуканих функцій у відповідні ряди Фур’є і подальшого використання інтегрального перетворення Лапласа. Передбачається, що додаткова опора має лінійно-пружну і лінійно-в’язку складові, а в точці приєднання додаткової опори до балки переміщення збігаються. Реакція між балкою та додатковою опорою замінюється зовнішньою невідомою зосередженою силою, прикладеною до балки та є змінною у часі. Закон зміни у часі цієї невідомої реакції визначається з інтегрального рівняння Вольтерра. Викладається розв’язання оберненої задачі механіки деформівного твердого тіла, тобто передбачається, що нам відома зміна в часі прогину в деякій точці балки з додатковою опорою, а закон зміни в часі зовнішнього імпульсного навантаження, що викликав ці зміни прогину, є невідомим. Точка прикладення зовнішнього збурюючого навантаження і точка приєднання додаткової опори вважаються відомими і не змінюються в процесі деформування (при розв’язанні задачі передбачалося, що це можуть бути будь-які точки балки за винятком її країв). Описана обернена задача зводиться до системи двох інтегральних рівнянь Вольтерра першого роду щодо невідомих зовнішнього збурюючого навантаження і реакції між пластиною і додатковою опорою, яка розв’язується аналітично-числовим методом. Наведено аналітичні співвідношення та результати обчислень для конкретних числових параметрів. Результати, отримані в даній роботі, можуть бути використані для непрямого вимірювання імпульсних і ударних навантажень, що діють на балки з додатковими опорами, для яких враховуються не тільки пружні, але і лінійно-в’язкі характеристики.The non-stationary loading of a mechanical system consisting of a beam hinged at the edges and an additional support installed in the span of the beam is considered. The deformation of the beam is modeled on the basis of Timoshenko's hypotheses, taking into account the influence of rotatory inertia and shear. The deformation of the beam is described by a system of partial differential equations, which is solved analytically by means of expansion of the unknown functions into the relevant Fourier series and further use of the Laplace integral transformation. It is assumed that the additional support has linear-elastic and linear-viscous components, and the displacements coincide at the point where the additional support is connected to the beam. The reaction between the beam and the additional support is replaced by an external unknown concentrated force applied to the beam, which varies in time. The law of time variation of this unknown reaction is determined by solving the Volterra integral equation. The inverse problem of deformable solid mechanics is solved, that is, it is assumed that the deflection at a point of the beam with the additional support is known, whereas the law of time variation of the external impulse load causing the deflection is unknown. The application point of the external load and the point of the additional support connection are considered to be known and do not change in the process of deformation (when obtaining the solution of the problem it was supposed that these could be any points of the beam except for its ends). The described inverse problem is reduced to a system of two Volterra integral equations of the first kind with regard to the unknowns of the external disturbing load and reaction between the plate and the additional support, which is solved by analytical and numerical method. Analytical relations and calculation results for specific numerical parameters are given. The results obtained in this work can be used for indirect measurement of impulse and shock loads acting on beams with additional supports, for which not only elastic but also linear-viscous characteristics are taken into account.