Періодичні режими в моделі математичного маятника з імпульсною дією

Abstract

Робота присвячена встановленню умов існування періодичних режимів в моделі математичного маятника з імпульсною дією. Важливим аспектом є те, що така система зазнає дії миттєвих сил у моменти проходження рухомою точкою деякого фіксованого положення. До того ж вона піддається імпульсній дії в нефіксовані моменти часу та збільшує кількість руху в такі моменти на деяку величину. У роботі наведені деякі теоретичні аспекти, а також наведено опис послідовності моментів часу, що описує механізм зведення задачі з імпульсною дією в нефіксовані моменти часу до задачі про пошук нерухомих точок інтервалу в себе. Актуальність та ступінь дослідженості проблеми розкривається шляхом порівняння існуючих розв’язків задачі та знаходження і доповнення новими. Власне в цьому і є головне завдання цієї роботи. Його виконання потребує дослідити існування умов, що забезпечують існування циклів, яким відповідають періодичні розв’язки. В роботі досліджено диференціальне рівняння другого порядку з імпульсною дією у конкретному випадку при фіксованому значенні положення імпульсної дії в залежності від значень параметрів у функції імпульсної дії. Як результат було знайдено два цикли періоду три. Також продемонстровано шляхом перевірки, що наведені цикли утворюють періодичні розв’язки. Отримані результати записано максимально детально та інформативно. В роботі отримано явний вигляд точок, що гарантують існування періодичних режимів в системі математичного маятника з імпульсною дією та наведено два графіки, що демонструють результати досліду: проілюстровано в кольорах як змінюються траєкторії після кожної дії імпульсних сил. Використовуючи наслідок з теореми Шарковського, показано, що якщо функція є неперервною і має періодичну точку періоду три, то вона має періодичні точки будь-якого натурального періоду. Відтак, в системі існують такі періодичні режими, при яких фазова точка зазнає імпульсної дії рівно n разів за період, де n – довільне натуральне число.

The article is devoted to establishing the conditions for the existence of periodic regimes of the model of a mathematical pendulum with impulse effect. An important aspect is that such a system is subjected to the action of instantaneous forces at the moments when the moving point passes some fixed position. In addition, it is subjected to impulse action at unfixed moments of time, whereby its amount of movement is increased by a certain amount. The paper presents some theoretical aspects, as well as a description of the sequence of moments of time, which describes the mechanism of reducing the problem with impulse action at unfixed moments of time to the problem of finding fixed points of the interval within itself. The relevance and degree of research of the problem is revealed by comparing existing solutions to the problem and finding and adding new ones. Actually, this is the main task of this work. The resulting problem involves investigating the existence of conditions that ensure the existence of cycles to which periodic solutions correspond. In the work, a second-order differential equation with impulse action is investigated in a specific case with a fixed value of the position of the impulse action depending on the values of the parameters in the impulse action function. As a result, two cycles of period three were found. It is also demonstrated by verification that the given cycles form periodic solutions. The obtained results are recorded as detailed and informative as possible. In the work, a clear view of the points that guarantee the existence of periodic regimes in the system of the mathematical pendulum with impulse action is obtained and two graphs are given, that demonstrate the results of the experiment. It is illustrated in colors how the trajectories change after each action of impulse forces. Using a corollary from Sharkovsky's theorem, it is shown that if a function is continuous and has a periodic point of period three, then it has periodic points of any natural period. Therefore, in the system there are such periodic regimes in which the phase point undergoes impulse action exactly n times per period, where n   .