До розрахунку вільних коливань дисипативного осцилятора з нелінійною пружністю

Abstract

Викладено наближений спосіб обчислення амплітуд вільних затухаючих коливань осцилятора, що має у виразі пружної характеристики нелінійний степеневий доданок, при дії сили лінійного в’язкого опору. Метод не потребує побудови розв’язку нелінійного диференціального рівняння руху і ґрунтується на відомому положенні по те, що обвідна графіка вільних затухаючих коливань дисипативного осцилятора Дуффінга наближено описується експоненціальною функцією, такою як і в лінійного осцилятора. Виходячи з цього положення, розрахунок амплітуд затухаючих коливань осцилятора зі степеневою нелінійністю в виразі пружності, де є також лінійний доданок, зведено до рекурентних співвідношень. У випадку жорсткої силової характеристики в співвідношення входить двохзначна функція Ламберта від’ємного аргументу, де використана її перша гілка. Для м’якої силової характеристики рекурентне співвідношення має функцію Ламберта додатного аргументу, яка однозначна. З метою спрощення числової реалізації одержаних аналітичних розв’язків, рекомендовано використовувати відомі таблиці цієї спеціальної функції, а в випадку малих за модулем значень аргументу – запропоновану апроксимацію її елементарними функціями. Щоб надати інформацію про фактичні похибки запропонованого способу розрахунку, розглянуто приклади, де проведено порівняння результатів, до яких він призводить, з результатами числового комп’ютерного інтегрування диференціального рівняння руху осцилятора, для випадків квадратичної та кубічної нелінійностей. Задовільна узгодженість результатів порівняння підтвердила придатність використання запропонованого способу в інженерних розрахунках.An approximate method for calculating the amplitudes of free damping oscillations of an oscillator with a nonlinear power term in terms of the elastic characteristic under the force of linear viscous resistance is presented. The method does not require the construction of a solution of a nonlinear differential equation of motion and is based on the well-known assumption that the envelope graph of the free damping oscillations of a dissipative Duffing oscillator is approximately described by an exponential function, as in a linear oscillator. Based on this position, the calculation of the damping oscillations of the oscillatorwith power nonlinearity in the expression of elasticity, where there is also a linear term, is reducedto recurrent relations. In the case of a rigid power characteristic, the two-digit Lambert function of the negative argument, where its first branch is used, is included in the ratio. For a soft power characteristic, the recurrence relation has a Lambert function of a positive argument, which is unambiguous. In order to simplify the numerical implementation of the analytical solutions obtained, it is recommended to use known tables of this special function, and in thecase of small modular values of the argument, the proposed approximation by its elementary functions. In order to provide information on the actual errors of the proposed calculation method, examples are given where the results to which it results are compared with the re-sults of numerical computer integration of the differential equation of motion for quadratic and cubic nonlinearities. The satisfactory consistency of the comparison results confirmed the suitability of using the proposed method in engineering calculations. Calculations showed that the influence of the nonlinear component of elasticity weakens during oscillation damping and, at small amplitudes, they are close to the terms of the geometric progression, as in a linear oscillator.