Схема алгоритму покрокового приведення двох матриць у формі шура до простого виду

Abstract

Важливого значення для сучасної техніки набувають питання динамічної поведінки машин та конструкцій. Зважаючи на тенденції сьогодення такі як нові інформаційні технології, трансформація проектно-конструкторських процесів; створення систем САПР (систем автоматизації проектних робіт), особливого значення набувають питання удосконалення методів рішення задач динаміки. Чисельне моделювання стало невід'ємною частиною дослідження самих складних процесів для самих складних фізичних моделей, а Finite Element Method став основним чисельним методом їх дослідження. Зазначені тенденції невідворотно будуть супроводжуватись значним ростом кількості параметрів визначення стану об'єктів. Зокрема, в динаміці машин значної кількості степенів вільності. Як наслідок, появу проблеми багатократного збільшення розмірів задачі. Рішення проблеми власних значень (EigenValue) може розглядатись як важлива компонента в побудові чисельно-аналітичних підходів, які альтернативні простим покроковим схемам інтегрування типу Рунге-Кутта в задачах великого розміру. Можна одержати певні переваги, якщо матриці лінійних перетворень попередньо привести до простих форм. Такий підхід широко застосовується в динаміці (модальний аналіз). В даній роботі запропонована схема алгоритму покрокового чисельного аналізу структури матриці K в проблемі (K,E) →(J,E) та схема побудови жорданового базису для загального випадку коренів характеристичного поліному (для дійсних та комплексних коренів, простих та кратних). В якості стартової форми прийнята стандартна проблема власних значень з матрицею К попередньо приведеною до форми Шура (матрицею блочно-трикутної форми). Схема супроводжується рішенням модельних прикладів.Of great importance for modern technology are the issues of the dynamic behavior of machines and structures. Given the trends of today such as new information technologies, the transformation ofdesign processes; creation of CAD systems (automation systems for design work), issues of improving methods for solving dynamics problems are of particular importance. Numerical modeling has become an integral part of the study of the most complex processes for the most complex physicalmodels, and the Finite Element Method has become the main numerical method for their study. These trends will inevitably be accompanied by a significant increase in the number of parameters for determining the state of the object. In particular, inthe dynamics of machines, a significant number of degrees of freedom. As a result, the appearance of the problem of a multiple increase in the size of the task. The solution of the eigenvalue problem can be considered asan important component in the construction of numerical-analytical approaches that are alternative to simple step-by-step integration schemes of the Runge-Kutta type in large-scale problems. Certain benefits can be obtained if the linear transformation matrices are first reduced to a simple form. This approach is widely used in dynamics (modal analysis). Inthis paper, we propose a scheme for a step-by-step numerical analysis of the structure of the matrix K in a problem (K,E) →(J,E) and a scheme for constructing a Jordan basis for the general case of roots of a characteristic polynomial (for real and complex roots, simple and multiple). As the starting form, the standard eigenvalue problem with the matrix K previously reduced to the Schur form (block-triangular shape matrix) is adopted. The scheme is accompanied by the solution of test cases.