Solving some complete singular integral equations by integral transformations and analytic extensions

Abstract

In this paper, the solution of some singular integral equations is presented. The coefficients of the equations (external and internal) possess pointwise weak singularities on the integration interval, and furthermore, the extension of these coefficients over the entire complex plane yields multivalued functions. To obtain certain analytical branches, cuts are made in the complex plane, so that at the edges of the cuts, the extracted branches take different values. Certain integral (equivalent) transformations are carried out on the operator defined by the given equation, and after a series of mathematical reasonings and calculations, the given equation is reduced to a characteristic singular integral equation, studied in the monographs of academicians N. Muskhvelishvili and F.Gahov. The solutions obtained are in strict accordance with the results presented in the aforementioned monographs. У даній роботі представлено рішення деяких сингулярних інтегральних рівнянь. Коефіцієнти рівнянь (зовнішні та внутрішні) мають поточково слабкі особливості на інтервалі інтегрування, крім того, продовження цих коефіцієнтів на всю комплексну площину represents multiform functions. Для отримання певних аналітичних гілок розрізи роблять у комплексній площині, так що на краях розрізів вилучені гілки набувають різних значень. Над оператором, визначеним даним рівнянням, здійснюються певні інтегральні (еквівалентні) перетворення, які після серії математичних міркувань і обчислень зводять дане рівняння до характерного сингулярного інтегрального рівняння, дослідженого в монографіях академіків Н. Мусхвелішвілі та Ф. Гахова. Отримані рішення чітко узгоджуються з результатами, представленими у згаданих монографіях.