Локальна модель термопружного стану пористого матеріалу

Abstract

В статті побудовано локальну стаціонарну модель термопружного стану пористого матеріалу. Модель основана на незв’язаних крайових задачах для стаціонарних рівнянь теплопровідності та термопружності для простору з двома сферичними порожнинами. Температурне поле визначається сталою температурою на поверхнях порожнин, які вважаються вільними від зусиль. Задача розв’язувалася узагальненим методом Фур’є (УМФ), для чого у роботі наведено його подальший розвиток на певний клас задач термопружності. Для цього введено системи однаково напрямлених сферичних координат, початки яких пов’язані з центрами порожнин. У роботі побудовано новий набір осесиметричних базисних розв’язків рівняння Ламе для кулі та доведено теореми додавання для нього і для розв’язків векторного бігармонічного рівняння в уведених системах координат. Формалізм УМФ дав можливість звести крайові задачі до алгебраїчних розв’язувальних систем з фредгольмовими операторами у просторі l2 за умови неперетинання сферичних поверхонь. При чисельному розв’язанні систем використано метод редукції. Отримано графіки напружень  на поверхні однієї з порожнин і напружень  z на осі симетрії задачі між порожнинами при різних відносних розмірах порожнин та різних температурах їх нагріву. Отримані результати узгоджуються з відомими для однієї порожнини. Збіжність методу редукції перевірено чисельно.

In the paper, a local stationary model of the thermoelastic state of a porous material is constructed. The model is based on uncoupled boundary value problems for stationary equations of heat conduction and thermoelasticity for a space with two spherical cavities. The temperature field is determined by the constant temperature on the surfaces of the cavities, which are considered free of forces. The problem was solved by the generalized Fourier method (GFM), for which the paper presents its further development for a certain class of thermoelasticity problems. For this purpose, systems of equally directed spherical coordinates were introduced, the origins of which are connected with the centers of the cavities. In the work, a new set of axisymmetric basic solutions of the Lamé equation for a sphere is constructed and addition theorems are proved for it and for solutions of the vector biharmonic equation in the given coordinate systems. The GFM formalism made it possible to reduce the boundary value problems to algebraic solvable systems with Fredholm operators in the space l2 under the condition that the spherical surfaces do not intersect. The reduction method was used for the numerical solution of the systems. Graphs of stresses  on the surface of one of the cavities and stresses  z on the axis of symmetry of the problem between the cavities at different relative sizes of the cavities and at different temperatures of their heating were obtained. The obtained results agree with those known for one cavity. The convergence of the reduction method is verified numerically.