Про удар в'язкопружного тіла по нерухомому півпростору

Abstract

Розглянуто ударну взаємодію в'язкопружного тіла, обмеженого квадратичним параболоїдом в зоні контакту з абсолютно жорстким нерухомим півпростором, який має плоску граничну поверхню. Введено припущення, що сила опору деформуванню тіла, яке вдаряє, залежить не тільки від його пружних характеристик, а і від квадрату швидкості його центру мас. Додатково використано відомі залежності Г. Герца стосовно розподілу контактних деформацій і динамічного тиску. За цих припущень перший інтеграл нелінійного диференціального рівняння руху другого порядку виражено в елементарних функціях. В таких же функціях одержано і вирази для максимумів: динамічного стискання, зусилля удару, розмірів еліптичної площадки контакту, тиску в центрі цієї площадки. Дослідженням на екстремум встановлено, що при в'язкопружному ударі максимуми сили удару і контактного тиску можуть досягатись не в кінці етапу стискання тіл, а дещо раніше, в ході цього процесу. Виведена умова, коли максимуми сил в'язкопружного і пружного ударів однакові. Вона пов'язана з коефіцієнтом в'язкості та квадратом швидкості зіткнення тіл. Показано, що в кінці етапу стискання сила удару і контактний тиск при в'язкопружному ударі можуть бути значно менші максимальних, а також тих, до яких призводить теорія удару ідеально пружних тіл. Виведено компактну формулу для обчислення коефіцієнта відновлення швидкості при прямому центральному ударі. Показано, що він залежить від коефіцієнтів в'язкості на стискання та розтискання та від квадрату швидкості зіткнення тіл. Зі збільшенням цих величин відбувається зменшення коефіцієнта відновлення швидкості. Тривалості у часі етапів стискання та розтискання подано невласними збіжними інтегралами другого роду, які не виражаються аналітичного через відомі функції. Підінтегральні функції в них мають алгебраїчну особливість поряду 1/2. Тому рекомендовано виділяти сингулярну частину в квадратурах і інтегрувати її аналітично, а регулярну частину обчислювати на комп'ютері. Наведено приклади розрахунків і проведено порівняльний аналіз числових результатів.The impact interaction of a viscoelastic body bounded by a quadratic paraboloid in the contact zone with an absolutely rigid fixed half-space having a flat boundary surface is considered. We have introduced the assumption that the force of resistance to the deformation of a body that hits depends not only on its elastic characteristics, but also on the square of the velocity of its center of mass. Additionally, the well-known dependences of G. Hertz on the distribution of contact deformations and dynamic pressure were used. Under these assumptions, the first integral of a non-linear differential equation of motion of the second order is expressed in elementary functions. In the same functions, the expression for the maxima was obtained: dynamic compression, impact force, dimensions of the elliptical contact area, pressure at the center of this area. An extremum study has established that with a viscoelastic impact, the maxima of the impact force and contact pressure can be reached not at the end of the body compression phase, but somewhat earlier during this process. A condition is derived when the maxima of the forces of viscoelastic and elastic impacts are the same. It is related to the coefficient of viscosity and the square of the velocity of the collision of bodies. It is shown that at the end of the compression stage, the impact force and the contact pressure during viscoelastic impact can be significantly less than the maximum, as well as those that the theory of impact of perfectly elastic bodies leads to. A compact formula for calculating the coefficient of speed recovery with a direct central impact is derived. It is shown that it depends on the coefficients of viscosity for compression and decompression and on the square of the velocity of collision of bodies. With the increase of this value, the speed recovery coefficient decreases. The duration in time of the stages of compression and expansion are represented by improper convergent integrals of the second kind, which are not expressed analytically in terms of known functions. The integrands in them have an algebraic singularity in the series 1/2. Therefore, it is recommended to single out the singular part in quadratures and integrate it analytically, and calculate the regular part on a computer. Examples of calculations are given and a comparative analysis of numerical results is carried out.