Математичне моделювання та аналіз керованості сингулярних гібридних систем в прикладних задачах

Abstract

У статті досліджено сингулярні гібридні системи (СГС), які характеризуються поєднанням диференціально-алгебраїчної структури та гібридної динаміки з перемиканням між різними режимами. Наведено математичну модель, обґрунтовано підходи до аналізу стійкості та керованості та проведено чисельне моделювання. Такі системи природним чином виникають у складних технічних застосуваннях – від енергетики до біомедичних пристроїв – де поведінка об’єкта змінюється внаслідок аварій, перемикань або внутрішніх структурних змін. Запропоновано математичну модель СГС на основі матриць, що залежать від дискретного режиму, де матриця може бути виродженою, що зумовлює сингулярність системи. Проведено аналіз керованості та стабільності таких систем із врахуванням специфіки – наявності алгебраїчних обмежень, імпульсних реакцій і неунікальності розв’язків. Розглянуто приклад системи з двома режимами: регулярним (з повною динамікою) та сингулярним (із замороженими змінними), продемонстровано зміну поведінки системи під час перемикання. Запропоновано підходи до аналізу стійкості із застосуванням гібридних функцій Ляпунова, методів Вейєрштрасса та алгебраїчних критеріїв керованості, що враховують структурну виродженість. Проведено чисельне моделювання з використанням Python, реалізовано алгоритм керування у вигляді зворотного зв’язку по стану. The article investigates singular hybrid systems (SHS), which combine differential-algebraic structures with hybrid dynamics involving mode switching. A mathematical model is presented, approaches to stability and controllability analysis are substantiated, and numerical simulation is performed. Such systems naturally arise in complex engineering applications – from energy systems to biomedical devices – where the system behavior changes due to faults, mode transitions, or internal structural variations. A mathematical model of SHS is proposed based on matrices, which depend on the discrete mode), with potentially being singular, leading to a differential-algebraic formulation. The controllability and stability of such systems are analyzed with a focus on the specific challenges of differential-algebraic formulation – including algebraic constraints, impulsive responses, and nonuniqueness of solutions. A case study of a two-mode system is presented: one regular mode with full dynamics, and one singular mode where certain state variables become constrained. The transition between modes demonstrates the shift from dynamic to algebraic behavior. Approaches to stability analysis are proposed, including hybrid Lyapunov functions, Weierstrass decomposition, and algebraic controllability criteria that account for matrix singularity. Numerical simulation is performed in Python using a state-feedback control law.