Керування пучком траєкторiй лiнiйної дискретної системи зi скiнченними множинами початкових i кiнцевих станiв

Abstract

В статті пропонується дослідження задачі керування пучком траєкторії лінійної дискретної системи. Задача керування пучком траєкторій виникає в прикладних задачах, для яких характерними ознаками є детермінована невизначеність початкових умов системи, керування групою об’єктів подібної природи тощо. До таких задач, зокрема, належать задачі керування пучком заряджених частинок. В постановці задачі, яка досліджується в статті, функція керування є скалярною, множина початкових станів i множина кінцевих станів містять скінченну кількість елементів. При цьому система є цілком керованою. Задача полягає в знаходженні керування, яке переводить систему з множини початкових умов в множину кінцевих станів. В статті задача керування пучком траєкторій зводиться до задачі термінального керування лінійною дискретною системою вищої розмірності. При цьому одержана система має блочну структуру. Такий підхід є новим. Використовуючи формулу, яка встановлює залежність між початковим i кінцевим станом дискретної системи, задачу термінального керування зведено до задачі знаходження розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Використовуючи структуру матриці системи, а також вигляд загального розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь, одержано загальний розв’язок задачі термінального керування. Застосовуючи властивості псевдооберненої матриці, встановлено умови існування розв’язку i функцію, яка є загальним розв’язком задачі керування пучком траєкторій. Одержаний в статті результат має алгоритмічне спрямування.

The article proposes an analysis of the problem of control of trajectory bundle of a linear discrete system. The problem of trajectory bundle control arises in applications characterized by the deterministic uncertainty of the initial conditions of the system, control of a group of objects of a similar nature, etc. To such problems belongs, in particular, the control problem for a beam of charged particles. In the statement of the problem studied in the paper, the control function is scalar, the set of initial states and the set of final states contain a finite number of elements. At the same time, the system is completely controlled. The problem is to find a control that transfers the system from a set of initial conditions to a set of final states. The problem is to find a control that transfers the system from a set of initial conditions to a set of final states. In the article, the problem of controlling a bundle of trajectories is reduced to the problem of terminal control of a linear discrete system of higher dimension. At the same time, the resulting system has a block structure. This approach is new. Applying the formula that establishes the dependence between the initial and final states of a discrete system, the problem of terminal control is reduced to the problem of finding a solution to a system of linear algebraic equations. Using the structure of the matrix of the system, as well as the form of the general solution of the system of linear algebraic equations, we obtain a general solution of the terminal control problem. Applying the properties of the pseudoinverse matrix, we prove the theorem on conditions of the solution existence and establish the function, which gives the general solution of the trajectory bundle control problem. This result has an algorithmic orientation.