Дослідження нелінійних нормальних форм коливань пов'язаних маятників під дією магнітних сил

Abstract

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії (PhD) за спеціальністю 113 – Прикладна математика. – Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут». – Україна, Харків, 2024. Об'єкт дослідження – нелінійна динаміка маятникових систем під впливом магнітного збудження. Предмет дослідження – побудова нелінійних нормальних форм коливань та аналіз їх стійкості; вплив зміни параметрів маятникової системи на форми коливань. В дисертаційній роботі досліджено форми (моди) коливань системи двох пружно пов’язаних маятників, розташованих у магнітному полі, причому маси цих маятників істотно розрізняються. Вказана істотна різниця в інерційних характеристиках розглянутої моделі призводить до ефекту локалізації коливань. У роботі досліджено нелінійні нормальні моди коливань маятникової системи з урахуванням опору середовища та моменту демпфування, створеного пружним елементом. Використано представлення магнітного впливу у вигляді як розривної, так і неперервної функцій. Розривну функцію магнітного впливу представлено апроксимацією Паде, що найбільшою мірою задовольняє експериментальні дані. Локалізовані та нелокальні (пов’язані) моди коливань отримано з використанням асимптотичних методів нелінійної динаміки, а саме, методу розкладання за малим параметром та методу багатьох масштабів, причому співвідношення моментів інерції маятників обрано як малий параметр. На основі чисельного моделювання проведено дослідження впливу зміни параметрів та початкових умов на динаміку системи, яка може бути як регулярною, так і складною, інколи схожою на хаотичну. Аналіз отриманих результатів чисельного моделювання дозволив сформулювати корисні практичні рекомендації щодо збереження регулярної поведінки (мод коливань) системи шляхом зміни її параметрів. Стійкість режимів коливань визначається за допомогою чисельного тесту, який пов’язаний з критерієм стійкості за Ляпуновим. У вступі обґрунтовано актуальність теми дослідження, зазначено використані методи, мету і завдання дослідження відповідно до предмета, об’єкта дослідження. Також подано загальну інформацію щодо наукової новизни отриманих результатів із зазначеними відмінностями одержаних результатів від відомих раніше. Наведені дані про особистий внесок здобувача та про апробацію матеріалів дисертації. У першому розділі представлено основні положення теорії та застосування нелінійних нормальних форм (мод) коливань. Додатково обґрунтовано взаємодію магнітного поля з елементами досліджуваної системи. Зазначений розділ також містить інформацію про асимптотичні методи нелінійної динаміки та методи дослідження стійкості руху динамічних систем. Отриманий аналітичний розв’язок порівнюється з результатами чисельного моделювання, що базується на методі Рунге–Кутти четвертого порядку. Початкові умови для чисельного розрахунку мод коливань визначаються аналітичним розв’язком. Представлено чисельні процедури, які використовуються в роботі. У другому розділі наведено дослідження мод коливань автономної системи пов’язаних маятників у полі магнітних сил без урахування дисипативних сил. Використовується представлення магнітного впливу у вигляді як розривної, так і неперервної функцій. У випадку розривної функції, де присутній стрибок, у рівняннях руху використано Паде– апроксимацію магнітного впливу. Суттєва нелінійність, присутня в системі, призводить до необхідності застосування саме асимптотичних методів для аналізу форм коливань. Чисельне моделювання проведено з використанням отриманого аналітичного рішення. Проведено дослідження впливу параметрів системи та початкових умов маятників на динаміку системи, яка може бути як регулярною, так і складною. Стійкість режимів коливань визначається за допомогою чисельного тесту, який пов’язаний з критерієм стійкості за Ляпуновим. При цьому стійкість досліджується шляхом оцінки ортогональних відхилень від відповідних модальних траєкторій у конфігураційному просторі системи. У третьому розділі описується дослідження локальної та синфазної форм коливань дисипативної системи двох пов’язаних маятників у магнітному полі. Як і у другому розділі, використовується два представлення магнітного впливу. Аналітичний розрахунок отриманий за допомогою методу багатьох масштабів, який успішно застосовується саме до дисипативних систем. Вплив параметрів системи на форми коливань досліджено як для малих, так і для значних початкових кутів нахилу маятників. Оцінка стійкості проводиться шляхом побудови траєкторій на фазовій і конфігураційній площинах, а також за допомогою чисельного тесту, що був описаний у другому розділі. За результатами дослідження отримано такі наукові результати: 1. Вперше проведено дослідження динаміки маятникової системи в полі магнітних сил, інерційні компоненти якої суттєво відрізняються. 2. Вперше досліджується стійкість мод коливань маятникової системи у полі магнітних сил. 3. Проаналізовано вплив зміни параметрів маятникової системи на регулярну та складну динаміку системи з представленням такої поведінки на фазовій площині та у конфігураційному просторі системи. 4. Знайдено такі області значень параметрів, які забезпечують існування стійкого локалізованого режиму коливань маятникової системи. Практичне значення отриманих результатів полягає у тому, що дослідження динаміки пружних систем у магнітному полі є вельми важливою проблемою саме в сучасній інженерній практиці, зокрема, у машинобудуванні, аерокосмічній техніці та ін. Важливим для застосувань є також дослідження можливості локалізації коливань. Розроблені методики дослідження можуть бути застосовані для розв’язання різноманітних інженерних задач, зокрема, задач гасіння коливань, а також для запобігання руйнування елементів машин та механізмів. Крім того, ці методики та отримані результати роблять внесок у загальну та прикладну теорію нелінійних коливань. The dissertation on competition of a scientific degree of Doctor of Philosophy (PhD), specialty 113 – Applied Mathematics. – National Technical University «Kharkiv Polytechnic Institute». – Ukraine, Kharkiv, 2024. Object of research is the nonlinear dynamics of pendulum systems under the influence of magnetic excitation. T he subject of research is to obtain nonlinear normal modes of vibration of the pendulum system; analysis of their stability, along with the influence of changes in system parameters on vibration mode. In the dissertation, the modes of vibrations of the system of two elastically connected pendulums located in a magnetic field are considered, and the masses of these pendulums differ significantly. The specified significant difference in inertial characteristics of the considered model leads to the effect of vibration localization. Nonlinear normal modes of vibrations of the pendulum system are investigated in the work, considering the restoring moments of the pendulums and the damping moment created by the elastic element. The representation of magnetic influence in the form of both discontinuous and continuous functions is considered. For the discontinuous magnetic function, the Padé approximation was used, which most satisfies the experimental data. Localized and non–local (coupled, or in–phase) modes of vibration are obtained using asymptotic methods of nonlinear dynamics, namely, the small parameter method and the multiple scales method when the mass ratio of pendulums is chosen as a small parameter. Based on numerical modeling a study of the influence of parameters and initial conditions on the system dynamics, which can be both regular and complex, was carried out. Analysis of the obtained results of numerical modeling allows the formulation of useful practical recommendations for saving of the regular behavior (vibration modes) of the system by changing its parameters. The stability of the vibration modes is determined using a numerical test, which is associated with the Lyapunov stability criterion. The introduction substantiates the relevance of the research topic and indicates the methods used, purpose and objectives of the study in accordance with the subject and object of the study. Also provided is general information on the scientific novelty of the results obtained with the indicated differences between the results achieved and those previously known. Further details are given on the personal contribution of the applicant and on the testing the dissertation materials. The first section presents the main provisions of the theory and application of nonlinear normal vibration modes. Additionally, the interaction of the magnetic field with the elements of the studied system is substantiated. This section also contains information on asymptotic methods of nonlinear dynamics and tools for investigating the stability of motion of dynamic systems. The application of presented asymptotic methods is demonstrated by an example of a system of two connected pendulums without considering the influence of magnetic excitation and restoring moments of the pendulums. The resulting analytical solution is compared with the results of numerical modeling based on the fourth–order Runge–Kutta method. Initial conditions for numerical calculation of modes of vibrations are determined by analytical solution. The numerical procedures used in the work are presented. In the second section, the study of the vibration modes of the autonomous system of coupled pendulums in the field of magnetic forces without considering dissipative forces is given. The magnetic impact representation is used in the form of both discontinuous and continuous functions. In the case of a discontinuous function where a jump is present, Padé approximation of magnetic action is used in the equations of motion. The significant nonlinearity present in the system leads to the need to use asymptotic methods for the analysis of vibration modes. Numerical modeling was carried out using the obtained analytical solution. A study of the influence of the system parameters and initial conditions of pendulums on the dynamics of the system, which can be both regular and complex, sometimes similar to chaotic one, has been carried out. The stability of the vibration modes is determined using a numerical test, which is associated with the Lyapunov stability criterion when the stability is investigated by assessment of orthogonal deviations from corresponding modal trajectories in the system configuration space. The third section describes the study of local and in–phase vibration modes of the dissipative system of two coupled pendulums in a magnetic field. As in the second section, two representations of magnetic influence are used. The analytical calculation was obtained using the multiple scales method, which is successfully applied to dissipative systems. The effect of system parameters on vibration modes has been investigated for both small and significant initial angles of pendulum inclination. The determination of stability is carried out by constructing trajectories on the phase and configuration planes using the numerical test described in the second section. Scientific novelty of the results: 1. For the first time, study of the dynamics of the pendulum system in the field of magnetic forces, the inertial components of which differ significantly. 2. For the first time, the stability of the vibration modes of the pendulum system in the field of magnetic forces is investigated. 3. The influence of changing the parameters of the pendulum system on the regular and complex dynamics of the system with the representation of such behavior on the phase plane and in the configuration space of the system is analyzed. 4. The following areas of parameter values were found to ensure the existence of a stable localized mode of vibration of the pendulum system. The practical significance of the obtained results lies in the fact that studying the dynamics of elastic systems in a magnetic field is significant problem in modern engineering practice, especially in mechanical engineering, aerospace engineering, etc. It is also significant to investigate the possibility of localizing vibrations. The developed research methods can be used to solve engineering problems, in particular, the problems of vibration dampeng, as well as to prevent the destruction of elements of machines and mechanisms. In addition, these techniques and the results obtained contribute to the general and applied theory of nonlinear vibrations.