Конструктивне дослідження методами двосторонніх наближень крайових задач для напівлінійних еліптичних рівнянь другого порядку

Abstract

У роботі розглянуто першу крайову задачу для напівлінійного еліптичного рівняння другого порядку. Задачі такого класу часто виникають при моделюванні процесів, що протікають у хімії, фізиці, біології тощо. Особливе місце серед методів аналізу задач, що розглядалися, займають так звані конструктивні методи дослідження, які дозволяють не тільки довести існування розв’язку задачі, а й пропонують алгоритм його знаходження із заданою точністю. Для конструктивного дослідження нелінійної крайової задачі запропоновано використати два варіанти методу двосторонніх наближень. Обидва методи засновані на переході від диференціальної задачі до еквівалентного нелінійного інтегрального рівняння (за допомогою функції Гріна або за допомогою квазіфункції Гріна – Рвачова), яке аналізується методами теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих банахових просторах. Висновки про існування додатних розв’язків побудованих інтегральних рівнянь та двобічну збіжність до цих розв’язків послідовних наближень робляться на основі результатів В. І. Опойцева про розв’язність нелінійних рівнянь з гетеротонним оператором. Практична реалізація методу двосторонніх наближень на основі використання функції Гріна має певні обмеження, пов’язані з необхідністю мати у наявності явний вираз цієї функції, що звужує коло областей, у яких метод може бути фактично застосований. Вільним від цього недоліку є метод двосторонніх наближень, заснований на використанні квазіфункції Гріна – Рвачова, яка може бути побудована за допомогою апарату теорії R  функцій для областей досить довільної геометрії. Запропоновані методи проілюстровано обчислювальними експериментами для еліптичних рівнянь з операторами Лапласа та Гельмгольця і гетеротонною степеневою нелінійністю у ряді дво- та тривимірних областей. Результати роботи обох методів двосторонніх наближень порівняно між собою.

The paper considers the first boundary value problem for a second-order semilinear elliptic equation. Problems of this class arise often in the modeling of processes occurring in chemistry, physics, biology, etc. A special place among the methods of analysis of the problems under consideration is occupied by the so-called constructive research methods, which allow not only to prove the existence of a problem solution, but also offer an algorithm for finding it with a given accuracy. For a constructive study of a nonlinear boundary value problem, it is proposed to use two versions of the method of two-sided approximations. Both methods are based on the transition from a differential problem to an equivalent nonlinear integral equation (using Green’s function or using Green – Rvachev’s quasi-function), which is analyzed by methods of the theory of nonlinear operators in semi-ordered Banach spaces. Conclusions about the existence of positive solutions of the constructed integral equations and the two-sided convergence of successive approximations to these solutions are made on the basis of the results of V.I. Opojcev on the solvability of nonlinear equations with a heterotone operator. The practical implementation of the method of two-sided approximations based on the use of Green's function has certain limitations associated with the need to have an explicit expression for this function, which narrows the range of areas in which the method can actually be applied. The method of two-sided approximations, based on the use of Green – Rvachev’s quasi-function, which can be constructed using the apparatus of the R  function theory for regions of sufficiently arbitrary geometry, is free from this shortcoming. The proposed methods are illustrated by computational experiments for elliptic equations with Laplace and Helmholtz operators and heterotone power nonlinearity in a number of two- and threedimensional domains. The results of both methods of two-sided approximations are compared.