Коливання кубічно нелінійного осцилятора, спричинені імпульсним навантаженням

Abstract

Розглянуто рух нелінійного осцилятора з кубічною характеристикою пружності, спричинений миттєво прикладеною сталою силою або прямокутним силовим імпульсом скінченної тривалості. Побудовано два варіанти аналітичного розв’язку нелінійного диференціального рівняння другого порядку. У першому варіанті переміщення осцилятора у часі виражено через еліптичний косинус, а в другому для розрахунку переміщення задіяно Аteb-синус. З метою спрощення розрахунків, запропоновано компактні апроксимації, які з похибкою до одного відсотка виражають Аteb-синус через елементарні функції. Встановлено, що коефіцієнт динамічності системи при дії миттєво прикладеної сили дорівнює ∛4< 2 .. У випадку навантаження осцилятора прямокутним імпульсом коефіцієнт динамічності залежить від тривалості дії імпульса і теж залишається меншим двох. Знайдена тривалість імпульса, коли буде максимальна амплітуда вільних коливань, спричинених імпульсом. Вона залежить не лише від власних параметрів осцилятора, а й від величини прикладеної сили, чого немає в лінійних системах. Наведено приклади розрахунків та відповідні графіки.

The motion of a nonlinear oscillator with a cubic elasticity characteristic caused by an instantaneously applied constant force or a rectangular force pulse of finite length is considered. Two variants of the analytical solution of a second-order nonlinear differential equation are constructed. In the first variant, the oscillator movement in time is expressed through an elliptical cosine, and in the second one, the Ateb-sine is used to calculate the displacement. In order to simplify the calculations, we introduce compact approximations which, with an error of less than one percent, express the Atеbsine through elementary functions. It is established that the coefficient of dynamism of the system under the action of the instantaneously applied force is ∛4< 2 . In the case of an oscillator loaded with a rectangular pulse, the coefficient of dynamism depends on the duration of the load and also remains smaller than two. The pulse duration causing the maximum amplitude of free oscillations is found. It depends not only on the proper parameters of the oscillator, but also on the magnitude of the applied force, which is not the case with the linear systems. Examples of calculations and corresponding graphs are given.