Ефективне чисельне інтегрування двовимірних швидкоосцильованих функцій загального виду

Abstract

Однією з ключових задач у сучасній прикладній математиці, без якої неможливе моделювання та аналіз складних процесів, зокрема в математичній фізиці, цифровій обробці зображень, є чисельне інтегрування функцій багатьох змінних. Часто аналітичне обчислення багатовимі- рних інтегралів є неможливим через складність самих функцій або області інтегрування, що зумовлює необхідність застосування ефективних чисельних методів. Основна проблема чисельного інтегрування функцій багатьох змінних полягає в зростанні обчислювальних витрат зі збільшенням розмірності області інтегрування – так зване «прокляття розмірності». Це спонукає до пошуку ефективних методів, які дозволяють зберігати баланс між обчислювальною складністю та точністю результатів. Особливий інтерес становлять методи чисельного інтегрування, розроблені з використанням інформаційних операторів, які відновлюють проміжні значення величин за наявним набором відомих значень функції багатьох змінних в точках, на лініях, площинах тощо. На основі таких операторів будуються економні схеми інтерполяції функцій двох та трьох змінних. Застосування економних схем в чисельному інтегруванні функцій декількох змінних дозволяє з меншою кількістю даних обчислювати багатовимірні інтеграли із заданою наперед точністю порівняно з класичними методами. Метою даної статті є демонстрація використання економних схем інтерполяції для наближеного обчислення подвійних інтегралів, а також двовимірних інтегралів від швидкоосцильованих функцій загального виду. One of the key tasks in modern applied mathematics, without which modeling and analysis of complex processes is impossible, in particular in mathematical physics and digital image processing, is the numerical integration of functions of many variables. Often, the analytical calculation of multivariable integrals is impossible due to the complexity of the functions themselves or the integration domain, which necessitates the use of effective numerical methods. The main problem of numerical integration of functions of many variables is the growth of computational costs with increasing dimension of the integration domain - the so-called “curse of dimension”. This leads to the search for efficient methods that allow to maintain a balance between computational complexity and accuracy of results. Of particular interest are numerical integration methods developed using information operators that restore intermediate values of quantities based on a given set of known values of a function of many variables at points, on lines, planes, etc. On the basis of such operators, economical schemes for interpolating functions of two and three variables are built. The use of economical schemes in the numerical integration of functions of several variables allows to calculate multidimensional integrals with a predetermined accuracy with less data compared to classical methods. The purpose of this article is to demonstrate the use of economical interpolation schemes for the approximate calculation of double integrals, as well as two-dimensional integrals of highly oscillating functions of general type.