Про один клас нестаціонарних кривих в гільбертовому просторі
Вантажиться...
Дата
2023
Автори
DOI
doi.org/10.20998/2079-0023.2023.02.15
Науковий ступінь
Рівень дисертації
Шифр та назва спеціальності
Рада захисту
Установа захисту
Науковий керівник
Члени комітету
Видавець
Національний технічний університет "Харківський політехнічний інститут"
Анотація
Стаціонарні випадкові процеси достатньо добре вивчалися протягом останніх років, починаючи з робіт А. Н. Колмогорова. Можливість побудування кореляційної теорії нестаціонарних випадкових процесів розглядалася в монографіях М. С. Ліфшіца, А. А. Янцевича, В. А. Золотарьова. Деякі класи нестаціонарних кривих досліджувалися В. Е. Кацнельсоном та ін. В даній роботі розглядалися нестаціонарні випадкові процеси як криві, які "слабо відхиляються" від випадкових процесів з кореляційною функцією спеціального вигляду. Вводиться інфінітезимальна кореляційна функція, яка за змістом є відхилення від випадкового процесу з даною кореляційною функцією. В роботі розглядаються нестаціонарні випадкові процеси у випадку, коли оператор процесу має одновимірну уявну компоненту, і коли оператор є дисипативним з дискретним спектром. Показано, що нестаціонарність випадкового процесу тісно пов'язана з відхиленням оператора від свого спряженого. Використовуючи трикутну і універсальну моделі несамоспряжених операторів, можна отримати представлення для кореляційної функції у випадку нестаціонарного випадкового процесу, яке замінює представлення Бохнера – Хінчина у випадку стаціонарних випадкових процесів. Отримано вираз для інфінітезимальної функції для різних випадків спектра (дискретний спектр, розташований в верхній напівплощині, і безконтрастний спектр в нулі). Для випадку оператора з дискретним спектром інфінітезимальна функція може бути знайдена через спеціальну лямбда-функцію. Для лебегового простору комплекснозначних інтегровних з квадратом функцій отримано вираз для інфінітезимальної функції через спеціальну модіфіковану функцію Бесселя нульового порядку. Показано, що аналогічний підхід можна використовувати для еволюційно представимих послідовностей в гільбертовому просторі.
Stationary random processes have been studied quite well over recent years starting with the works of A. N. Kolmogorov. The possibility of building nonstationary random process correlation theory was considered in the monographs by M. S. Livshits, A. A. Yantsevich, V. A. Zolotarev and others. Some classes of nonstationary curves were investigated by V. E. Katsnelson. In this paper nonstationary random processes are represented as curves in Hilbert space which "slightly deviate" from random processes with the correlation function of special kind. The infinitesimal correlation function has been introduced; in essence, this function characterizes the deviation from the correlation process with the given correlation function. The paper discusses the cases of nonstationary random processes, the operator of which has one-dimensional imaginary component. Cases of a dissipative operator with descrete spectrum are also considered in this work. It is shown that the nonstationarity of the random process is closely related to the deviation of the operator from its conjugated operator. Using the triangle and universal models of non-self-ajoint operators it is possible to obtain the representation for the correlation function in the case of nonstationary process which replaces the Bochner – Khinchin representation for stationary random processes. The expresson for the infinitesimal correlation function was obtained for different cases of operator spectrum: for the descrete spectrum placed in the upper half-plane and for the contrast-free spectrum at zero. In the case of dissipative operator with descrete spectrum the infinitesimal function can be found in terms of special lambda function. For Lebesque spaces of compex-valued squared integratable functions the expresson of infinitesimal function was found in terms of special zero order modified Bessel function. It was shown that a similar approach can be applied for the evolutionarily represented sequences in Hilbert spaces.
Stationary random processes have been studied quite well over recent years starting with the works of A. N. Kolmogorov. The possibility of building nonstationary random process correlation theory was considered in the monographs by M. S. Livshits, A. A. Yantsevich, V. A. Zolotarev and others. Some classes of nonstationary curves were investigated by V. E. Katsnelson. In this paper nonstationary random processes are represented as curves in Hilbert space which "slightly deviate" from random processes with the correlation function of special kind. The infinitesimal correlation function has been introduced; in essence, this function characterizes the deviation from the correlation process with the given correlation function. The paper discusses the cases of nonstationary random processes, the operator of which has one-dimensional imaginary component. Cases of a dissipative operator with descrete spectrum are also considered in this work. It is shown that the nonstationarity of the random process is closely related to the deviation of the operator from its conjugated operator. Using the triangle and universal models of non-self-ajoint operators it is possible to obtain the representation for the correlation function in the case of nonstationary process which replaces the Bochner – Khinchin representation for stationary random processes. The expresson for the infinitesimal correlation function was obtained for different cases of operator spectrum: for the descrete spectrum placed in the upper half-plane and for the contrast-free spectrum at zero. In the case of dissipative operator with descrete spectrum the infinitesimal function can be found in terms of special lambda function. For Lebesque spaces of compex-valued squared integratable functions the expresson of infinitesimal function was found in terms of special zero order modified Bessel function. It was shown that a similar approach can be applied for the evolutionarily represented sequences in Hilbert spaces.
Опис
Ключові слова
гільбертів простір, нестаціонарні випадкові процеси, кореляційна функція, інфінітезимальна функція, спряжений оператор, дисипативний оператор, спектр оператора, дискретний спектр, безконтрастний спектр, Hilbert space, nonstationary random processes, correlational function, infinitesimal function, conjugate operator, dissipative operator, operator spectrum, dissipative spectrum, contrast-free spectrum
Бібліографічний опис
Боєва А. А. Про один клас нестаціонарних кривих в гільбертовому просторі / А. А. Боєва // Вісник Національного технічного університету "ХПІ". Сер. : Системний аналіз, управління та інформаційні технології = Bulletin of the National Technical University "KhPI". Ser. : System analysis, control and information technology : зб. наук. пр. – Харків : НТУ "ХПІ", 2023. – № 2 (10). – С. 102-106.