Універсальний алгоритм лінійного та квадратичного програмування в задачах контактного деформування вантових споруд з односторонніми зв'язками

Abstract

Проблем у виробничій діяльності, що потребують рішення задач оптимізації, надзвичайно багато і вони дуже різноманітні. Оптимізаційні підходи найчастіше пов′язані з пошуком найкращого варіанту конструкції або споруди. Математичні методи розв′язання таких проблем стрі-мко розвиваються та знаходять широке застосування. Вони активно та продуктивно проникають в багато областей наукових досліджень, в інженерно-конструкторські розробки, є важливим інструментом підвищення ефективності проектування на протязі всього процесу створення конструкцій. Пошук найкращого проектного рішення зводиться до підбору сукупності параметрів, які надають стаціонарне значення функції цілі. Широке коло екстремальних задач практичної орієнтації, як правило, в математичних моделях містить обмеження на параметри проек-тування типу рівності-нерівності. Загалом їх множина складає зміст такого розділу математики як Математичне програмування. Через те, що не існує єдиного методу вирішення, сформувалась розрізненість у підходах дослідження, яка поділяє їх на групи, класи, тощо. Лінійне про-грамування (ЛП), як один з розділів, з лінійною цільовою функцією та обмеженнями добре вивчене та знаходить успішне застосування. Ме-тоди рішення задач нелінійного програмування, до якого відноситься квадратичне, більш складні. І тому розробка зручних обчислювальних схем є актуальною. Суть даної роботи полягає в тому, що постановки 2-х задач оптимізації формалізовані в єдиній та зручній формі симетри-чної матричної залежності, що дає змогу отримати ефективний (на наш погляд) алгоритм їх реалізації. А саме запропонована єдина схема рішення як задач ЛП так і КП на базі операцій матричної алгебри. Квадратичне програмування (КП), як другий розділ, також має широкі можливості, зокрема, дозволяє розглядати практичні задачі обчислення НДС в механіці деформованого твердого тіла в умовах контактної взаємодії. До таких проблем, зокрема, відносяться вантові споруди з односторонніми зв′язками та довжинами прольотів, які можуть досягати десятки-сотні метрів. В якості прикладу розглянута поведінка модельної вантової прольотної споруди при варіаціях вітрових навантажень. Приведені результати можуть бути цікавими для спеціалістів.

Problems in production activities that require optimization problems are extremely numerous and very diverse. Optimization approaches are most often associated with the search for the best version of a structure or building. Mathematical methods for solving such problems are developing rapidly and are widely used. They actively and productively penetrate into many areas of scientific research, into engineering and design developments, are an important tool for improving design efficiency throughout the entire process of creating structures. The search for the best design solution is reduced to the selection of a set of parameters that provide a stationary value of the objective function. A wide range of extreme problems of practical orientation, as a rule, in mathematical models contains restrictions on design parameters of the equality-inequality type. In general, their set makes up the content of such a section of mathematics as Mathematical Programming. Due to the fact that there is no single solution method, diversity in research approaches has formed, which divides them into groups, classes, etc. Linear programming (LP), as one of the sections, with a linear objective function and constraints is well studied and successfully applied. Methods of solving problems of nonlinear programming, which includes quadratic programming, are more complex. Therefore, the development of convenient computational schemes is relevant. The essence of this work is that the statements of 2 optimization problems are formalized in a single and convenient form of a symmetric matrix dependence, which makes it possible to obtain an effective (in our opinion) algorithm for their implementation. Namely, a unified scheme for solving both LP and KP problems based on matrix algebra operations is proposed. Quadratic programming (QP), as the second section, also has wide possibilities, in particular, it allows considering the practical tasks of calculating VAT in the mechanics of a deformed solid body under the conditions of contact interaction. Such problems, in particular, include cable-stayed structures with one-way connections and span lengths that can reach tens or hundreds of meters. As an example, the behavior of a model cable-stayed span structure under varying wind loads is considered. The given results may be of interest.