Аналіз стійкості розв'язків лінійного матричного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами

Abstract

В статті висвітлено метод дослідження стійкості матричного лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами. Одним з класичних видів матричних диференціальних рівнянь є лінійні матричні диференціальні рівняння, частинним випадком яких є рівняння Ляпунова. Матричні диференціальні рівняння виникають в задачах теорії стійкості, практичної стійкості, теорії оптимального керування і оцінювання стану систем за умов невизначеності. В зв’язку з цим необхідно обчислювати та аналізувати якісні властивості розв’язків матричних диференціальних рівнянь. Постають проблеми існування, єдиності, продовжуваності і аналізу умов стійкості для різних видів таких математичних рівнянь. Метод, розроблений в статті, базується на алгебраїчних властивостях власних чисел, Жорданових форм матриць, використовує властивості коренів многочленів. В статті обґрунтовується теорема про умови стійкості, асимптотичної стійкості, нестійкості розв’язків лінійного матричного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами. Розроблена методика полягає у знаходженні максимальних дійсних частин власних чисел, а також у аналізі структури Жорданової форми матриць лінійного диференціального рівняння. Наслідком теореми є відповідні умови стійкості матричного рівняння Ляпунова. Для знаходження власних чисел розроблено обчислювальний метод знаходження максимальної дійсної частини коренів многочлена, а також алгоритм знаходження коренів многочлена. В основі підходу лежить теорема Рауса – Гурвіца. Наведено результати обчислювальних експериментів. The article presents the method for analyzing the stability of linear matrix differential equations with constant coefficients. One of the classical types of such equations is the class of linear matrix differential equations, which includes the Lyapunov equation as a particular case. Matrix differential equations arise in problems of stability theory, practical stability, optimal control theory, and state estimation of systems under uncertainty. Therefore, it is necessary to compute and analyze the qualitative properties of solutions to matrix differential equations. This involves addressing problems of existence, uniqueness, continuation, and analysis of stability conditions for various types of such mathematical equations. The method proposed in the article is based on algebraic properties of eigenvalues, Jordan forms of matrices, and characteristics of polynomial roots. A theorem is established regarding the conditions for stability, asymptotic stability, and instability of solutions to linear matrix differential equations with constant coefficients. The developed approach includes the computation of the maximal real parts of eigenvalues and the analysis of the Jordan form structure of the system matrices. As a consequence, corresponding stability conditions for the Lyapunov matrix equation are also obtained. An algorithm is proposed for computing the maximal real part of the roots of a polynomial, as well as for finding all roots. The approach relies on the Routh – Hurwitz theorem. The article also presents results of computational experiments.