Effective diversification and stock portfolio dynamics under constraints

Abstract

This scientific study considers the mathematical problem of optimal diversification of a portfolio of shares in the presence of market constraints. Mathematical formulation of the constructing trajectory problem of one share the market value is given in the class of ordinary first-order differential equations. The procedure for constructing a general solution of such an equation is given. Of particular practical importance is the mathematical problem of constructing an optimal portfolio structure in the presence of quantitative and qualitative market constraints. Such constraints arise at every moment of portfolio diversification and their consideration significantly complicates the problem. The procedure for building a dynamic model of the formation of the market value of one share is based on the application of the market model of W. Sharpe and the fundamental theory by H. Markowitz. The principles of H. Markowitz theory make it possible to determine the optimal values of the portfolio's expected profitability and riskiness when applying the procedure for building an optimal portfolio of risky securities. The application of optimal management theory methods in the optimization of the stock portfolio involves an iterative procedure for determining the optimal structure. The work also considers an important applied problem of applying the theory of H. Markowitz to solve the problem of optimal diversification of a portfolio of risky investments in the presence of restrictions that are formed by the stock market at each moment of time. The presence of market restrictions significantly affects the decision-making procedure regarding optimal portfolio diversification. This scientific study presents an algorithm for optimal diversification of a portfolio of risky securities in the presence of market restrictions. У даному науковому дослідженні розглядається математична задача оптимальної диверсифікації портфеля акцій за наявності ринкових обмежень. Така прикладна задача є актуальною проблемою інвестування у ризиковані активи і до її розв’язання прикута увага провідних математиків та економістів в усьому світі. Серед найбільш відомих можна назвати Г. Марковиця, Д. Тобіна, К. Іто, Ф. Блек, М. Шоулз, Р. Мертон. Математичну постановку задачі побудови траєкторії руху однієї акції за ринковою вартістю наведено в класі звичайних диференціальних рівнянь і побудовано, спираючись на ринкову модель В. Шарпа. Особливе практичне значення має математична задача побудови оптимальної структури портфеля за наявності кількісних та якісних ринкових обмежень. Такі обмеження виникають при диверсифікації портфеля і необхідність їх врахування суттєво ускладнює задачу. Процедура побудови динамічної моделі формування ринкової вартості однієї акції базується на застосуванні ринкової моделі В. Шарпа та фундаментальної теорії Г. Марковіца. У роботі також розглядається важлива прикладна проблема застосування теорії Г. Марковіца для розв’язання задачі оптимальної диверсифікації портфеля ризикованих інвестицій за наявності обмежень, що формуються фондовим ринком. Такий підхід враховує побудову та застосування допустимої та ефективної множин портфелів цінних паперів. Ці множини, згідно Г. Марковицю, формуються на основі наявних на ринку активів. Наявність ринкових обмежень суттєво впливає на процедуру прийняття рішень щодо оптимальної диверсифікації портфеля. У цьому науковому дослідженні наведено алгоритм оптимальної диверсифікації портфеля ризикованих цінних паперів за наявності обмежень.