Про апроксимацію функції Ламберта

Abstract

Виведено компактні формули для обчислення значень функції Ламберта на певних проміжках її області визначення. Це досягнуто заміною трансцендентних рівнянь на відповідні алгебраїчні (квадраті та кубічні), за умови малої зміни їх коренів при переході від одних видів рівнянь до інших. У побудові апроксимацій задіяна формула Шенкса, що наближено виражає суму повільно збіжного степеневого ряду. Порівняння наближених значень функції Ламберта з точними її значеннями показало, що похибка запропонованих апроксимацій на виділених проміжках аргументів менша за 0,5 %. Проміжки охоплюють не тільки великі, а і малі та від’ємні значення аргументу, де функція двохзначна. Апроксимація стосується обох гілок функції.

Compact formulas are derived for calculating the values of the Lambert function on some intervals of its domain. This is achieved by replacing the transcendental equations by the corresponding algebraic (square and cubic) equations, provided that their roots change little when passing from one type of the equation to another. In the construction of approximations, the Shanks formula is used, which approximately expresses the sum of a slowly converging power series. A comparison of the approximately calculated values of the Lambert function with its exact values showed that the error of the proposed approximations on the selected intervals of the arguments is less than 0.5 %. The gaps cover not only large, but also small, as well as negative values of the argument, where the function is two-valued. The approximation applies to both branches of the function.