Моделювання проміжної в'язко-пружної опори при нестаціонарних коливаннях балки Тимошенко

Abstract

При моделюванні механічних об’єктів та їх систем найчастіше використовуються математичні моделі, які працюють в пружній області, що в деяких випадках може призвести до істотних неточностей у розрахунках. Застосування математичних моделей, які враховують в’язко- пружні властивості або дисипацію енергії, дозволяє отримати більш реалістичні моделі, що дасть можливість отримати більш точні результати розрахунків. У цій роботі розглядається нестаціонарне навантаження механічної системи, яка складається з шарнірно обпертої балки та додаткової опори, встановленої в прольоті балки. Використовується модель деформування балки на основі гіпотез С. П. Тимошенко з урахуванням інерції обертання та зсуву. Система диференціальних рівнянь у частинних похідних, що описує деформування балки, розв’язується за допомогою розвинення шуканих функцій у відповідні ряди Фур’є та подальшого використання інтегрального перетворення Лапласа. Додаткова опора передбачається не абсолютно жорсткою, а реалістичною, яка має лінійно-пружну та в’язку складові. Мається на увазі, що у точці приєднання додаткової опори до балки їхні переміщення збігаються. Реакція між балкою та додатковою опорою замінюється зовнішньою невідомою зосередженою силою, прикладеною до балки, яка змінюється у часі. Закон зміни у часі цієї невідомої реакції визначається з розв’язання інтегрального рівняння Вольтерра. Викладається метод отримання інтегрального рівняння щодо невідомої реакції. Наведено аналітичні співвідношення та результати обчислень для конкретних чисельних параметрів. Досліджується вплив жорсткості та в’язкості на шукану реакцію додаткової опори, а також на прогини балки у різних точках. Результати, отримані в даній роботі, можуть бути також використані для демпфування вимушених коливань механічних систем.

When modeling mechanical objects and their systems, mathematical models developed for an elastic domain are most often used, which in some cases can lead to significant inaccuracies in calculations. The use of mathematical models that take into account visco-elastic properties or energy dissipation allows to obtain more realistic models, which will make it possible to obtain more accurate calculation results. In the paper non-stationary loading of a mechanical system, consisting of a beam hinged at the edges, and an additional support installed in the span of the beam is considered. We use a beam deformation model, which is based on the hypotheses of S. P. Timoshenko and takes into account the inertia of rotation and shear. The system of partial differential equations describing the deformation of the beam is solved by expanding the desired functions into the corresponding Fourier series and subsequent using the integral Laplace transform. The additional support is assumed to be realistic rather than absolutely rigid, having linear elastic and viscous components. It is assumed that at the point of attachment of the additional support to the beam their displacements coincide. The reaction between the beam and the additional support is replaced by an external unknown concentrated force applied to the beam, which changes with time. The law of change in time of this unknown reaction is determined from the solution of the Volterra integral equation. A method for obtaining an integral equation for an unknown reaction is described. Analytical relations and calculation results for specific numerical parameters are given. The influence of stiffness and viscosity on the determined reaction of the additional support, as well as on the deflections of the beam at various points, is investigated. The results obtained can also be used for damping forced vibrations of mechanical systems.