Вплив нелінійної складової в’язкого опору на тривалість вільних коливань осцилятора

Abstract

Розглянуто вільні коливання лінійно пружного осцилятора зі степенево нелінійним в’язким опором. Вираз сили опору в рівнянні руху складається з двох доданків. Перший доданок пропорційний швидкості руху, а другий – степеню швидкості. Дослідження проведено методом енергетичного балансу. Реалізовано два варіанти вказаного методу. Перший пов’язаний зі складанням і розв’язанням диференціального рівняння обвiдної графіка коливального процесу. В другому варіанті методу розрахунок спадної послідовності амплітуд розмахів зведено до рекурентного співвідношення, яке, при довільному додатному показнику нелінійності, доводиться розв’язувати чисельним методом. В роботі задіяно ітераційний метод Ньютона. Встановлено випадки нелінійності, коли рекурентне співвідношення має замкнені аналітичні розв’язки та побудовано їх. Доведено, що коли показник нелінійності більший нуля, але менший одиниці, то вільні коливання осцилятора обмежені в часі та зводяться до скінченної кількості розмахів, тобто осцилятор з в’язким опором має таку властивість, як і осцилятор з сухим тертям. Оскільки розрахункові формули одержані без розв’язування нелінійного диференціального рівняння руху осцилятора, проведено порівняння чисельних результатів, до яких вони призводять, з результатами чисельного комп’ютерного інтегрування задачі Коші. Отримано їх задовільну узгодженість і встановлено, що використання рекурентних співвідношень дає вищу точність, ніж використання виразу для обвiдної графіка вільних коливань. Показано що із виведених формул, як окремі випадки, випливають одержані раніше залежності для розрахунку амплітуд вільних коливань осцилятора при спільній дії сил сухого і лінійного в’язкого тертя. Дослідження супроводжується прикладами розрахунків і порівняльним аналізом отриманих чисельних результатів.The free oscillations of a linear elastic oscillator with a power nonlinear viscous resistance are considered. The expression of the resitance force in the equation of motion consists of two terms. The first term is proportional to the speed of movement, and the second to the degree of speed. The study was conducted by the method of energy balance. Two variants ofthe specified method are imple-mented. The first is associated with the preparation and solution of the differential equation of the envelope of the graph of the oscilla-tory process. In the second version of the method, the calculation of the sequence of decreasing amplitudes of the ranges is reduced to a recurrence relation, which, for an arbitrary positive non-linearity index, has to be solved numerically. Newton's iterative method is involved. Cases of nonlinearity are established when the recurrence relation has closed analytical solutions and they are constructed. It is proved that when the non-linearity index is greater than zero, but less than unity, the free oscillations of the oscillator are limited in time and are reduced to a finite sequence of ranges, that is, an oscillator with viscous resistance has the same property as anoscillator with dry friction. Since the calculation formulas were obtained without solving the nonlinear differential equation of motion of the oscillator, the numerical results they bring to are compared withthe results of numerical computer integration of the Cauchy problem. Their satisfactory consistency was obtained and it was found that the use of recurrence relations gives higher accuracy than using the expression for the envelope of the graph of free oscillations. It is shown that from the derived formulas, as a special case, the previ-ously obtained relationships for calculating the amplitudes of free oscillations of the oscillator under the combined action ofthe forces of dry and linear viscous friction follow. The study is accompanied by examples of calculations and a comparative analysis of the results.