Нелінійні гравітаційні хвилі у потоці рідини в каналі із складної геометрії дна, вкритого битим льодом

Abstract

Розглянуто двовимірну нелінійну задачу про сталу течію в каналі, вкритому битим льодом з довільним рельєфом дна. Для розв’язання задачі використано метод інтегрального годографа, який зводиться до системи нелінійних рівнянь у модулі швидкості на вільній поверхні. Ці рів- няння отримано з динамічної граничної умови. Результати, що показують вплив гравітації на геометрію вільної поверхні, представлені для широкого прямокутника і траншеї в широкому діапазоні чисел Фруда, включаючи як докритичні, так і надкритичні течії. Для надкритичних течій відтворено дві сім’ї розв’язків для довільної форми дна. Показано, що додаткова умова, яка вимагає, щоб вільна поверхня була плоскою на скінченній відстані від перешкоди, вибирає єдиний розв’язок для заданої висоти дна і ширини прямокутника для надкритичних течій. Це рішення є неперервним при переході від докритичного до надкритичного режиму течії. Розглядаються приклади для широкої прямокутної перешкоди і траншеї на дні каналу. Розглянуто два режими течії. Перший – докритичний режим, для якого хвиля, генерована профілем дна, поширюється тільки вниз за течією до нескінченності. Другий – надкритичний режим, для якого можуть існувати два різних типи розв’язків: один з меншою висотою гребеня хвилі, відомий як «збурена» хвиля, і інший з більшою висотою гребеня хвилі, названий «солітонною» хвилею. The two-dimensional nonlinear problem of a steady flow in a channel covered by broken ice with an arbitrary bottom topography is considered. An integral hodograph method is employed for solving the problem, which is reduced to a system of nonlinear equations in the velocity modulus on the free surface. These equations are obtained from the dynamic boundary condition. Results showing the effect of gravity on the geometry of the free surface are presented for a wide rectangle and a trench over a wide range of Froude numbers, including both subcritical and supercritical flows. For supercritical flows, two families of solutions for an arbitrary bottom shape are reproduced. It is shown that the additional condition requiring the free surface to be flat at a finite distance from the obstruction selects a unique solution for a given bottom height and width of the rectangle for supercritical flows. This solution is continuous in going from the subcritical to the supercritical flow regime. Case studies are carried out for a wide rectangular obstruction and a trench on the bottom of the channel. Two flow regimes are studied. The first is a subcritical regime, for which the wave generated by the bottom profile extends only downstream to infinity. The second is supercritical regime, for which two distinct types of solutions may exist: one with a smaller wave crest height, known as the ‘perturbed’ wave, and another with a larger wave crest height, termed the ‘soliton’ wave.