Коливання квадратично-нелінійного осцилятора, спричинені імпульсним навантаженням

Abstract

Розглянуто механічні коливання нелінійного осцилятора, у якого відновлююча сила пропорційна квадрату деформації пружини. Рух спричинений або миттєво прикладеною силою сталої величини або прямокутним силовим імпульсом скінченної тривалості. Побудовано два варіанти аналітичного розв’язку нелінійної задачі Коші для неоднорідного диференціального рівняння другого порядку. В першому переміщення осцилятора у часі виражено через еліптичний косинус Якобі, що дає можливість обчислювати їх за допомогою відомих таблиць. У другому для розрахунку переміщень, задіяно Ateb-синус. Запропоновано апроксимації, які з похибкою меншою одного відсотка, подають Ateb-синус в елементарних функціях. Показано, що коефіцієнт динамічності у розглянутого осцилятора менший двох. Він залежить від тривалості дії прямокутного силового імпульсу. Знайдена тривалість дії сили, коли досягається максимальний ефект розгойдування вільних коливань розвантаженого осцилятора. Вона залежить не тільки від параметрів осцилятора, а й від значення прикладеної сили, що не властиво лінійним системам. Наведено приклади розрахунків та відповідні графіки.

The mechanical oscillations of a nonlinear oscillator, which has a rebounding force proportional to the square of the strain of the spring, have been considered. The movement is caused either by a instantly applied force of a constant value or by a rectangular force pulse of the finite extent. Two variants of the analytic solution of the nonlinear Cauchy problem for a nonhomogeneous differential equation of second order have been constructed. In the first one, the displacement of the oscillator in time is expressed in terms of the elliptic cosine of Jacobi. In the second, the Ateb-sinus is used to calculate displacements of the oscillator. Approximations, which, with an error of less than one percent, represent the Ateb-sinus in elementary functions have been proposed. It is shown that the coefficient of dynamism of the oscillator under consideration is less than two. It depends on the duration of the rectangular force impulse. The duration of the force when the maximum effect of the free oscillations of an unloaded oscillator is reached have been discovered. It depends not only on the parameters of the oscillator, but also on the value of the applied force, which is not typical of linear systems. Examples of calculations and corresponding graphs have been provided.