Интегральное уравнение первого рода с логарифмическим ядром, заданное на системе интервалов

Abstract

Рассмотрено интегральное уравнение первого рода с логарифмическим ядром, к которому приводит ряд задач дифракции волн. Это уравнение сведено к системе интегральных уравнений на отрезке. Проведена дискретизация этой системы на основе метода дискретных особенностей. Введены пары гильбертовых пространств и операторы в них, соответствующие заданной и дискретной задачам. С их помощью доказана однозначная разрешимость дискретной задачи и дано строгое обоснование оценки скорости сходимости решения дискретной задачи к точному решению интегрального уравнения.

We consider an integral equation of the first kind with a logarithmic kernel, which arises in a number of problems of wave diffraction. This equation is reduced to a system of integral equations on a segment. Discretization of this system is carried out on the basis of the method of discrete singularities. A pair of Hilbert spaces and operators in them corresponding to predetermined and discrete problems is introduced. With their help, we prove the unique solvability of the discrete problem and give a rigorous justification of the rate of convergence of the solution of the discrete problem to the exact solution of the integral equation.