Моделювання процесів обміну в багатокомпонентних середовищах з урахуванням невизначеності даних

Abstract

Мета дослідження. Пропозиції до методів розв'язання систем лінійних однорідних і неоднорідних диференціальних рівнянь із сталими та змінними коефіцієнтами, визначеними в інтервальному вигляді і призначеними для моделювання процесів обміну в багатокомпонентних середовищах. Предмет дослідження: системи лінійних однорідних і неоднорідних диференціальних рівнянь із сталими та змінними коефіцієнтами, визначеними в інтервальній формі. Метод дослідження: інтервальний аналіз. Отримані результати. Розглянуто системи лінійних однорідних та неоднорідних диференціальних рівнянь, які застосовують при моделюванні процесів обміну в багатокомпонентних середовищах, наприклад, в задачах хімічної кінетики, матеріалознавства, теорії марковських процесів. Для отримання розв'язку цих рівнянь застосовано спеціалізовані калькулятори аналітичних перетворень та проведено їх тестування. Для чисельного аналізу систем диференціальних рівнянь використовували систему Matlab (розв'язувач ODE 15s). Показано, що застосування інтервальних методів чисельного аналізу на початковому етапі моделювання систем має деякі переваги перед ймовірнісними тому, що не вимагають знання законів розподілу результатів вимірювань параметрів стану системи та їх похибок. Показано, що існуючі методи розв’язання систем лінійних диференціальних рівнянь можна розподілити на дві групи. Загальним для цих груп служить використання інтервального розширення класичних методів для розв'язання диференціальних рівнянь, заданих в інтервальному вигляді. Відмінність між цими двома групами методів наступна. Методи першої групи можуть бути використані для всіх типів диференціальних рівнянь, але вимагають створення спеціального програмного забезпечення. Особливість методів другої групи в тому, що їх можна використовувати для розв'язання рівнянь в аналітичному вигляді або використовуючи пакети чисельного аналізу. Застосування методів другої групи показано на прикладі розв'язання системи диференціальних рівнянь, коефіцієнти яких визначено в інтервальній формі. Система цих рівнянь призначена для моделювання процесів обміну з зовнішнім середовищем елементів моделі конкретної фізичної системи. У тому випадку, коли коефіцієнти цих рівнянь є змінними величинами, застосовано їх кусково-сталу апроксимацію та наведено критерій, який визначає можливість її застосування. Запропонована в даному повідомленні методика може бути застосована для розв'язання систем лінійних однорідних і неоднорідних диференціальних рівнянь зі сталими та змінними коефіцієнтами, якщо вони задані повільно змінними функціями. У тому випадку, коли коефіцієнти рівнянь визначено в інтервальному вигляді, методика дозволяє отримувати їх розв’язок також в інтервальному вигляді і не вимагає для цього створення спеціального програмного забезпечення.

The goal of the work. Proposals for methods of solving systems of linear homogeneous and nonhomogeneous differential equations with constant and variable coefficients that defined in interval form and intended for modeling exchange processes in multicomponent environments. Research subject: systems of linear homogeneous and nonhomogeneous differential equations with constant and variable coefficients defined in interval form. Research method: interval analysis. The obtained results. Systems of linear homogeneous and non-homogeneous differential equations, which are used in modeling exchange processes in multicomponent environments, are considered. Such systems can be considered, for example, in problems of chemical kinetics, materials science, and the theory of Markov processes. To obtain the solution of these equations, specialized calculators of analytical transformations were used and tested. The Matlab system (ode15s solver) was used for numerical analysis of systems of differential equations. It is shown that the application of interval methods of numerical analysis at the initial stage of system modeling has some advantages over probabilistic methods because they do not require knowledge of the laws of distribution of the results of the system state parameter measurements and their errors. It is shown that existing methods of solving systems of linear differential equations can be divided into two groups. Common to these groups is the use of interval expansion of classical methods for solving differential equations given in interval form. The difference between these two groups of methods is as follows. The methods of the first group can be used for all types of differential equations but require the creation of special software. The peculiarity of the methods of the second group is that they can be used to solve equations analytically or using numerical analysis packages. The application of the methods of the second group is shown on the example of solving a system of differential equations, the coefficients of which are determined in interval form. The system of these equations is intended for modeling the processes of exchange with the external environment of the elements of the model of a specific physical system. In the case when the coefficients of these equations are variables, their piecewise-constant approximation is applied and a criterion that determines the possibility of its application is given. The technique proposed in the paper can be applied to solve systems of linear homogeneous and non-homogeneous differential equations with constant and variable coefficients if they are given by slowly varying functions. In the case when the coefficients of the equations are determined in the interval form, the technique allows obtaining their solution also in the interval form and does not require the creation of special software.