Выделение упругой, вязкой и инерционной составляющих из полной реакции дополнительной опоры, присоединенной к прямоугольной пластине

Abstract

Рассматривается механическая система, состоящая из прямоугольной пластины, опертой по контуру, и дополнительной вязкоупругой опоры с учётом её массово-инерционных характеристик. Влияние характеристик дополнительной опоры на деформированное состояние пластины исследуется с помощью оригинального подхода для разделения упругой, вязкой и инерционной составляющих из общей реакции. Предполагается, что пластина имеет прямоугольную форму, среднюю толщину и является изотропной и упругой. Используются уравнения деформирования пластины в рамках гипотез Тимошенко. Колебания пластины вызваны приложением внешнего нестационарного нагружения. Влияние дополнительной опоры заменяется действием трёх неизвестных независимых нестационарных сосредоточенных сил. В работе приведены основные аналитические соотношения для получения системы трёх интегральных уравнений Вольтерра. Полученная система решается численно-аналитически. После выполнения дискретизации по времени система интегральных уравнений преобразуется в систему матричных уравнений. Полученная система матричных уравнений решается с использованием обобщенного алгоритма Крамера для блочных матриц и метода регуляризации А. Н. Тихонова. Укажем, что изложенный подход применим и для других объектов, имеющих дополнительные опоры (балки, пластины и оболочки, которые могут иметь различное опирание по контуру и разные формы в плане). Приведены результаты вычислений по определению составляющих (вязкой, упругой и инерционной) полной реакции на пластину, возникающей из-за наличия дополнительной опоры. Достоверность предлагаемого подхода подтверждается совпадением результатов сопоставления реакций, найденных двумя методами: численно-аналитическим для одной полной реакции и численным для суммарной реакции (полученной, сложением трех составляющих).The paper deals with a mechanical system consisting of a hinged rectangular plate and an additional viscoelastic support with considering its mass-inertia. The impact of the characteristics of additional support on the plate strained state isstudied by an original approach of extracting elastic, viscous and inertial components from the total reaction. The plate is assumed to be medium thickness, elastic and isotropic. The Timoshenko hypothesis is used for deformation equations. The external non-stationary force initiates plate vibrations. The impact of the additional support is replaced by the action of three unknown independent non-stationary concentrated forces. The basic formulas for deriving system of three Volterraintegral equations are proposed. The system is then solved by numerical and analyticalmethod. By discretizing in time the system of Volterra integral equations is reduced to a system of matrix equations. The system of matrix equationsis solved with using generalized Kramer’s algorithm for block matrices and Tikhonov’s regularization method. Note that the approach proposed is applicable for other objects with additional supports, such as beams, plates and shells having various boundary contour and boundary supporting.The results of computing elastic, viscous and inertial components of total reactions on the plate are given. The approach proposed is verified by matching the results of computations by two different methods, namely numerical and analytical for one total reaction and numerical for the total reaction obtained by adding elastic, viscous and inertial components.Розглядається механічна система, яка складається з прямокутної пластини, обпертої по контуру та додаткової вʼязкопружної опори з урахуванням її масово-інерційних характеристик. Вплив характеристик додаткової опори на деформований стан пластини досліджується за допомогою оригінального підходу для поділу пружної, в’язкої та інерційної складових із повної реакції. Передбачається, що пластина має прямокутну форму, середню товщину, а також є ізотропною і пружною. Використовуються рівняння деформування пластини в рамках гіпотез Тимошенко. Коливання пластини викликані прикладенням зовнішнього нестаціонарного навантаження. Вплив додаткової опори замінюється дією трьох невідомих незалежних нестаціонарних зосереджених сил. У роботі наведені основні аналітичні співвідношення для отримання системи трьох інтегральних рівнянь Вольтерра. Отримана система розв’язується чисельно-аналітично. Після виконання дискретизації за часом система інтегральних рівнянь перетворюється в систему матричних рівнянь. Отримана система матричних рівнянь розв’язується з використанням узагальненого алгоритму Крамера для блокових матриць і методу регуляризації А. М. Тихонова. Зазначимо, що викладений підхід може бути застосовано і для інших обʼєктів, що мають додаткові опори (балки, пластини і оболонки, які можуть мати різне спирання по контуру і різні форми в плані). Наведено результати обчислень по визначенню складових (пружної, в’язкої та інерційної) повної реакції на пластину, що виникає внаслідок наявності додаткової опори. Достовірність запропонованого підходу підтверджується збігом результатів зіставлення реакцій, знайдених двома методами: чисельно-аналітичним для однієї повної реакції і чисельним для сумарної реакції (отриманої, складанням трьох складових).