Ідентифікація кривих розділу сильно контрастних середовищ методами комплексного аналізу

Abstract

При моделюванні процесів масопереносу (наприклад, фільтрації) в пористих середовищах можливі випадки існування сильно проникних шарів, які відокремлюються від відповідних досліджуваних частин деякими кривими, які потрібно знайти (ідентифікувати) в процесі розв’язування задачі. При побудові математичної моделі відповідного фізичного процесу вважатимемо сильно проникне середовище «ідеально (теоретично нескінченно) проникним». У цьому випадку шукану криву можна вважати еквіпотенціальною лінією. У цій роботі розглядається стаціонарний процес руху рідини в однорідному горизонтальному нескінченно великих розмірів пласті – ґрунтовому масиві, що обмежений нескінченними ділянками кривих, зокрема – шуканою кривою теоретичного водоупору та горизонтальною віссю, на якій відома локальна швидкість руху. На основі методів конформних відображень та сумарних зображень запропоновано підхід до ідентифікації кривої розділу середовищ. Побудований алгоритм модифіковано для розв’язування нелінійних обернених крайових задач на квазіконформні відображення криволінійних багатокутних областей, обмежених невизначеними лініями течії та еквіпотенціальними лініями. Особливість запропонованої методики полягає в тому, що формули сумарних зображень забезпечують можливість представити розв’язок локалізованої лінійної (основної) частини отриманої системи рівнянь у явному вигляді, де невідомі коефіцієнти знаходяться шляхом розв’язання нелінійних систем, породжених лише граничними умовами та числовими аналогами умов Коші – Рімана.

When modeling mass transfer processes (for example, filtration) in porous media, there may be cases of the existence of highly permeable layers, which are separated from the corresponding studied parts by some curves that must be found (identified) in the process of solving the problem. When constructing a mathematical model of the corresponding physical process, we will consider a highly permeable medium as "ideally (theoretically infinitely) permeable." In this case, the desired curve can be considered an equipotential line. This work considers the stationary process of fluid movement in a homogeneous horizontal layer of infinitely large dimensions − a soil massif, which is limited by infinite sections of curves, in particular by the desired curve of theoretical water resistance and the horizontal axis, on which the local speed of movement is known. On the basis of the methods of conformal reflections and total images, an approach to the identification of the curve of the separation of media is proposed. The constructed algorithm is modified for solving nonlinear inverse boundary value problems on quasi-conformal mappings of curvilinear polygonal regions bounded by uncertain streamlines and equipotential lines. The feature of the method proposed is that the summary representation formulae allow to explicitly write the solution to the localized linear (main) part of the obtained system of equations. The unknown coefficients are determined here by solving a nonlinear system generated solely by the boundary conditions and numerical analogues of the Cauchy–Riemann equations.