Використання методу квазіфункцій Гріна – Рвачова у чисельному аналізі однієї електростатичної наноелектромеханічної системи

Abstract

У роботі розглядається задача чисельного аналізу однієї електростатичної наноелектромеханічної системи. Наноелектромеханічні системи – мініатюрні пристрої, що поєднують електронні та механічні компоненти мікронних та нанорозмірів. Електростатична активація механічних компонентів таких систем є одним із найпоширеніших видів активації та використовується в акселерометрах, перемикачах, мікродзеркалах та мікрорезонаторах тощо. Недоліки таких пристроїв пов’язані з нестабільністю втягування. Цей ефект виникає, коли напруга, прикладена до рухомого електрода, перевищує критичне значення, в результаті чого система втрачає свою нерухому конфігурацію. Для математичного моделювання процесу використано напівлінійне еліптичне рівняння з оператором Лапласа та першою крайовою умовою. Для побудови наближеного розв’язку задачі пропонується використовувати методи нелінійного аналізу в напіввпорядкованих просторах, зокрема, результати В. І. Опойцева про розв’язність нелінійних операторних рівнянь з гетеротонним оператором. Крайова задача, що моделює наноелектромеханічну систему, зводиться до інтегрального рівняння Урисона за допомогою методу квазіфункцій Гріна – Рвачова, що дозволяє розширити застосування методу двобічних наближень для областей досить довільної геометрії. У статті обґрунтовано можливість побудови двосторонніх наближень до додатного розв’язку задачі, а саме: наведено обчислювальну схему, отримано умови її збіжності до єдиного додатного розв’язку розглядуваної задачі, а також отримано оцінку похибки. Метод проілюстровано обчислювальними експериментами для задачі, що розглядається у прямокутній області. Результати обчислювальних експериментів представлені у вигляді числової та графічної інформації.

The problem of numerical analysis of one electrostatic nanoelectromechanical system is considered in the article. Nanoelectromechanical systems are miniature devices that combine electronic and mechanical components of micro and nano sizes. Electrostatic actuation of the mechanical components of such systems is one of the most common types of actuation and that used in accelerometers, switches, micro-mirrors, micro-resonators, etc. The disadvantages of such devices are related to the pull-in instability. This effect occurs when the voltage applied to the moving electrode exceeds a critical value, causing the system to lose its stationary configuration. A semi-linear elliptic equation with the Laplace operator and the first boundary condition was used for mathematical modeling of the process. To construct an approximate solution of the problem, it is suggested to use the methods of nonlinear analysis in semi-ordered spaces, in particular, the results of V. I. Opoitsev on the solvability of nonlinear operator equations with a heterotone operator. The boundary value problem modeling the nanoelectromechanical system is reduced to the integral Urysohn’s equation using the Green – Rvachev’s quasi-function method, which allows us to expand the application of the two-sided approximation method for domains of fairly arbitrary geometry. The article substantiates the possibility of constructing two-sided approximations to a positive solution of the problem, namely: a computational scheme is given, conditions for its convergence to a single positive solution of the problem under consideration are obtained, and an error estimate is obtained. The method is illustrated by computational experiments for a problem considered in a rectangular domain. The results of computational experiments are presented in the form of numerical and graphical information.