Задача дробово-лінійного програмування в умовах невизначеності

Abstract

Розглядається задача дробово-лінійного програмування в умовах невизначеності. Під невизначеністю у роботі розуміється неоднозначність значень коефіцієнтів функціонала оптимізації. Наведено дві математичні постановки задачі: в першій задачі невизначеність відн оситься до чисельника – є кілька наборів коефіцієнтів цільової функції, кожен з яких може визначати чисельник критерію задачі на етапі реалізації її розв’язку, у другій – невизначеність відноситься до знаменника функціоналу. У роботі пропонується кілька компромісних критеріїв оцінки розв’язків даної задачі. Детально розглянуто два з них: 1) знаходження компромісного розв’язку, у якого значення часткових функціоналів відхиляються від їх оптимальних значень в заданих межах; 2) знаходження компромісного розв’язку за критерієм мінімізації сумарного зваженого перевищення значень часткових функціоналів відповідно заданих допустимих відхилень від їх оптимальних значень (величин поступок). Для знаходження компромісного розв’язку задач дробово-лінійного програмування за цими двома критеріями сформульована допоміжна задача лінійного програмування, обмеження якої залежать від напрямку оптимізації вихідної задачі. Для дослідження властивостей задачі були проведені серії експериментів чотирьох типів, метою яких було: 1) дослідження впливу зміни величин встановлених допустимих відхилень часткових цільових функцій на величини фактичних відхилень і на величини поступок; 2) дослідження впливу зміни експертних ваг часткових цільових функцій на величини фактичних відхилень і на величини поступок, що відповідають отриманим компромісним розв’язкам. В роботі запропоновані схеми експериментів і представлені їх результати в графічному вигляді. При цьому було встановлено, що отримані залежності залежать від напрямку оптимізації вихідної задачі.

This paper addresses the problem of linear-fractional programming under uncertainty. The uncertainty here is understood as the ambiguity of the coefficients’ values in the optimized functional. We give two mathematical formulations of the problem. In the first one, the uncertainty refers to the numerator: there are several sets of objective function coefficients, each coefficient can determine the numerator of the problem’s criterion at the stage of its solution implementation. The uncertainty in the second formulation refers to the denominator of the functional. We propose several compromise criteria for evaluating solutions to the problem we consider. We study the following two criterions in detail: 1) finding a compromise solution in which the deviation of the values of the partial functionals from their optimal values is within the specified limits; 2) finding a compromise solution according to the criterion of minimizing the total weighted excess of the va lues of partial functionals in relation to the specified feasible deviations from their optimal values (the values of concessions). We formulate an auxiliary linear programming problem to find a compromise solution to the linear-fractional programming problems by these two criteria. The constraints of the auxiliary problem depend on the optimization direction in the original pro blem. We carried out a series of experiments of four types to study the properties of the problem. The purposes of the experiments were: 1) to study how changes in the values of the specified feasible deviations of partial objective functions impact the values of actual deviations and the values of concessions; 2) to study how changes in the expert weights of partial objective functions impact the values of actual deviations and the values of concessions for the compromise solutions we obtain. We propose in this work the schemes of experiments and present their results in graphical form. We have found that the obtained relations depend on the optimization direction in the original problem.