Автоколивання, описані узагальненим рівнянням Ван дер Поля

Abstract

Розглянуто квазілінійні автоколивання, представлені узагальненим рівнянням Ван дер Поля. Узагальнення проведено заміною в названому рівнянні квадрату швидкості на її довільний невід’ємний степінь. Методом енергетичного балансу побудовано наближений аналітичний розв’язок, який описує вихід коливальної системи на режим усталених автоколивань. Одержано компактну формулу для обчислення амплітуди цього режиму і доведено, що вона не залежить від початкових умов. Обчислення вказаної амплітуди пов’язане з використанням таблиці гама-функції. Показано, що одержаний наближений аналітичний розв’язок в окремих випадках узагальнює відомі результати в теорії коливань. Для висвітлення похибок цього розв’язку додатково проведено чисельне інтегрування узагальненого диференціального рівняння на комп’ютері для конкретних числових даних. Задовільна узгодженість чисельних результатів, одержаних двома способами, підтвердила придатність наближених формул до проведення інженерних розрахунків. Досліджено також коливання, які описує узагальнене рівняння після заміни на протилежний знак дисипативної сили. Тоді рух коливальної системи залежить від початкових умов. При менших за порогове стартових відхиленнях осцилятора від положення статичної рівноваги він виконує вільні затухаючі коливання. У випадку більших за порогове початкових відхилень відбувається розгойдування вільних коливань і з плином часу розмахи осцилятора прямують до нескінченності за обмежений проміжок часу. Виведена формула порогового відхилення дозволяє судити про стійкість динамічної системи при різних показниках нелінійності в рівнянні руху та різних початкових збуреннях.

Quasilinear self-oscillations, represented by the generalized Van der Pol equation, are considered. The generalization of the equation is carried out by replacing the second degree of the velocity by its arbitrary non-negative degree. An approximate analytical solution, describing the transition of the oscillatory system to the regime of steady-state self-oscillations, is constructed using the energy balance method. A compact formula is obtained for calculating the amplitude of this regime and it is proved that it does not depend on the initial conditions. The calculation of the indicated amplitude involves using the table of gamma functions. It is shown that in some cases the obtained approximate analytical solution generalizes the known results of the theory of oscillations. To identify the errors of this solution, we integrated the generalized differential equation numerically using a computer for specific numerical data. The satisfactory consistency of the numerical results obtained by applying two different methods confirmed the adequacy of the approximate formulas for engineering calculations. The oscillations described by the generalized equation with the dissipative force of opposite sign are also studied. In this case the motion of the oscillatory system depends on the initial conditions. For the deviations of the oscillator from the position of static equilibrium smaller than a threshold value, free damped oscillations occur. In the case of large initial deviations beyond the threshold, free oscillations build up and over time the oscillator sweeps tend to the infinity for a limited period of time. The threshold deviation formula is derived which makes it possible to draw a conclusion about the stability of a dynamic system for various nonlinearity indices in the equation of motion and various initial perturbations.