113 "Прикладна математика"
Постійне посилання колекціїhttps://repository.kpi.kharkov.ua/handle/KhPI-Press/50024
Переглянути
Документ Розв'язання двомірних задач руйнування при повзучості на основі схеми МСЕ(Національний технічний університет "Харківський політехнічний інститут", 2020) Сенько, Альона ВолодимирівнаДисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії за спеціальністю 113 "Прикладна математика". – Національний технічний університет "Харківський політехнічний інститут", Харків, 2020. Об’єкт дослідження – двовимірні елементи при повзучості, що обумовлена дією статичного та періодичного навантаження. Предмет дослідження – процеси повзучості, пошкоджуваності та руйнування, які відбуваються у тілах, розрахункові схеми яких відповідають двовимірним задачам. Перший розділ роботи містить огляд наукових публікацій за напрямом роботи. Розглянуто питання чисельного моделювання процесів накопичення прихованої пошкоджуваності та руйнування металевих деформівних тіл при повзучості. Проаналізовано основні підходи, що дозволяють виконувати формулювання кінетичних рівнянь для параметру пошкоджуваності, насамперед в умовах повзучості матеріалу. Надано стислий опис підходів механіки руйнування стосовно задач повзучості. Визначено, що базовим чисельним методом, що використовується при складному напруженому стані для аналізу повзучості, яка супроводжується накопиченням пошкоджуваності, наразі є метод скінченних елементів (МСЕ). Виконано огляд сучасних публікацій за темою, увагу приділено застосуванню алгоритмів МСЕ для розв’язання задач повного руйнування тіл складної геометрії, які деформуються в умовах повзучості: як на першому етапі накопичення прихованих пошкоджень, так й на другому – зростання та розвитку макродефектів (тріщин). На основі виконаних аналітичних досліджень наукових напрямів та підходів проведено формулювання задач досліджень, які потрібно розв’язати у роботі, намічено шляхи побудови методу розрахунку. Метод розв’язання двовимірної задачі руйнування при повзучості викладено у другому розділі дисертаційної роботи. Надано математичне формулювання задачі повзучості, пошкоджуваності та руйнування при двовимірному напруженому стані, яке проведено для випадку спільної дії статичних та циклічних навантажень. Описано застосування методу скінченних елементів та різницевого методу для розв’язання двовимірних задач повзучості, що супроводжується пошкоджуваністю. Увагу приділено формуванню скінченноелементного підходу до розв’язання задачі руйнування при повзучості. Описано основні етапи запропонованого методу розв’язання задачі розповсюдження макродефекту чи тріщини повзучості з урахуванням нестаціонарного характеру розподілу пошкоджуваності в їхньому околі. Сформульовано підхід до використання скінченноелементних розв’язків для отримання диференційного рівняння 1-го порядку для опису процесу розповсюдження тріщини. Описано результати з дослідження достовірності розв’язків, що отримуються при чисельному моделюванні руйнування при повзучості, надано результати порівняння чисельних та експериментальних результатів з повзучості та руйнування зразків з надрізами для верифікації методу розрахунку. Третій розділ присвячено опису результатів чисельного моделювання руйнування при повзучості у пластинах з надрізами та отворами при розтягу. Розглянуто плоский напружений стан. Проаналізовано чисельні дані, що отримано для пластини з гострими надрізами, виготовленої з жароміцного нікелевого сплаву. Встановлено вплив навантаження на перебіг процесу розвитку тріщини повзучості. Надано результати розв’язання аналогічної задачі руйнування пластини з коловими надрізами. Описано підхід до проведеного моделювання. Показано можливість виникнення двох тріщин в околі первісно зародженого макродефекту. Проведено чисельне моделювання руйнування при повзучості пластини з центральним коловим отвором. Визначено вплив неоднорідного температурного поля на параметри процесу накопичення пошкоджень та руйнування. Розглянуто чисельні дані, що отримано при моделюванні руйнування пластини з двома отворами. Четвертий розділ присвячено розрахунковим дослідженням руйнування стрижневого твелу ядерного реактору. Отримано матеріальні константи, що входять до рівнянь стану повзучості та пошкоджуваності оксиду урану. Розроблено підхід до моделювання циклічної дії згинних напружень. Виконано розрахунки пошкоджуваності та руйнування твелу при плоскій деформації. Змістом п’ятого розділу є формулювання та розв’язання диференційних рівнянь для опису руху тріщини при повзучості. На базі розробленого підходу, що вимагає проведення попереднього скінченноелементного моделювання , визначено параметри, що входять до диференційного рівняння руху тріщини. Розглянуто випадок тріщин у зразках з гострими надрізами. Побудовано рівняння для моделювання руху тріщини у пластині з центральним отвором.Документ Оцінка граничного стану двокомпонентного матеріалу з кулястими включеннями та прогнозування надійності конструкції методами комп'ютерного і математичного моделювання(Національний технічний університет "Харківський політехнічний інститут", 2021) Шаповалова, Марія ІгорівнаДисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії за спеціальністю 113 "Прикладна математика". – Національний технічний університет "Харківський політехнічний інститут", Харків, 2021. Дисертаційна робота присвячена створенню математичних методів оцінки міцності елементів конструкції на основі аналізу пружних параметрів матеріалу з урахуванням особливостей його внутрішньої мікроструктури; встановленню залежності розподілу включень від їх концентрації на площині зразка використовуючи технологію комп'ютерного зору та обробки зображень структури матеріалу; застосуванню розроблених підходів до оцінки ймовірнісних показників характеристик матеріалу. Об'єкт дослідження – процес деформування двокомпонентних матеріалів з кулястими включеннями. Предмет дослідження – ймовірнісні характеристики пружних параметрів, граничного стану, як поверхні плинності, при різноманітній концентрації внутрішніх компонентів матеріалу; статистичний прогноз надійності конструкцій з двокомпонентних матеріалів. Теоретичною базою дисертації є методи: обробки зображень (фільтрація, сегментація, нормалізація та розпізнаванням об’єктів); механіки твердого деформованого тіла; теорії ймовірностей та випадкових процесів, теорій надійності. Розрахунок НДС статистично-еквівалентних мікроструктур проводився у рамках методу скінченних елементів. Наукова новизна дисертаційної роботи полягає у наступному: – запропоновано новий розрахунковий підхід для оцінки ймовірнісних параметрів граничного стану двокомпонентного матеріалу з кулястими включеннями. Цей підхід оснований на методі Монте-Карло, та, на відміну від існуючих, спирається на аналіз статистично-еквівалентних мікроструктур. Він дозволяє прогнозувати залишковий ресурс елементів конструкцій, визначати його ймовірнісні характеристики; – розроблено алгоритми (основані на методах комп’ютерної обробки зображень) для автоматизованого визначення ймовірнісних характеристик розміру, просторового розподілу та концентрації сферичних включень двокомпонентного матеріалу; – вперше, за допомогою створених алгоритмів, встановлено функції густини розподілу радіусів включень в залежності від їх концентрації для чавуну марок ВЧ35-ВЧ100 (мікроструктури типу ШГ2-ШГ12). Це дозволило розробити алгоритм синтезу статистично-еквівалентних структур; – вперше встановлено закономірності впливу концентрації включень на функції густини розподілу (та їх параметри) компонентів тензору жорсткості (зокрема коефіцієнтів взаємного впливу першого та другого порядку) для чавуну марок ВЧ35-ВЧ100 (мікроструктури типу ШГ2-ШГ12); – вперше встановлено концентраційні залежності математичного очікування, дисперсії та довірчі інтервали границь плину при стисканні та розтяганні для чавуну марок ВЧ35-ВЧ100 (мікроструктури типу ШГ2-ШГ12). У Вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано її мету і задачі, визначено об’єкт, предмет і методи дослідження, наукову новизну та практичну значущість роботи. Перший розділ роботи присвячений аналізу сучасних підходів до визначення впливу мікроструктури матеріалу на його механічні властивості, та містить огляд наукових публікацій за напрямом роботи. Розглянуто прямі (експериментальні) та розрахункові методи оцінки взаємозв’язку мікроструктури матеріалу та характеристик міцності. Проаналізовано використання методів машинного навчання та комп’ютерного зору при роботі із металографічними зображеннями, для задач класифікації, передбачення та статистичної оцінки впливу внутрішньої структури на властивості матеріалу. Надано стислий опис і сучасний стан критеріїв міцності механіки суцільного середовища, та методів керованих даними у задачах механіки твердого тіла. Визначено, що найпоширенішим чисельним методом, який використовується для дослідження напружено-деформованого стану моделей, є метод скінченних елементів (МСЕ). Проведений аналіз наукових напрямів та підходів пов’язаних із задачею ідентифікації параметрів міцності матеріалів на основі їх мікроструктури у тому числі визначення граничного стану, як поверхні плинності — сприяв формулюванню задач дослідження, та опису шляхів побудови методу розрахунку. У другому розділі описані теоретичні основи розв’язання задачі ідентифікації параметрів міцності з використанням даних, отриманих із зображень мікроструктури матеріалу. Включає розгляд технологій, що використовуються при обробці зображень. Описано підходи і методи попередньої обробки вхідного зображення, сегментації, нормалізації та фільтрації із подальшим розпізнаванням об’єктів. Сформульована загальна математична постановка для аналізу пружних властивостей матеріалу на основі плоскої задачі теорії пружності. Як одним з універсальних методів визначення напружено деформованого стану моделі – розглядається метод скінченних елементів (МСЕ). Це чисельний варіаційно-різницевий метод аналізу технічних конструкцій, прийнятий як стандартний метод дослідження завдяки універсальності та можливості роботи на обчислювальних системах. Увагу приділено формуванню скінченно-елементного підходу до розв’язання задачі класичної теорії пружності. Механічні властивості матеріалу визначаються через коефіцієнти тензора жорсткості. Оцінка міцності реалізована побудовою поверхні плинності матеріалу. Для визначення граничного стану матеріалу розглянуті існуючі гіпотези міцності композиційних матеріалів, та проведено модифікацію критеріїв для врахування різного супротиву матеріалу при розтягуючих та стискаючих напруженнях. У Третьому розділі описаний процес штучної генерації статистично-еквівалентної мікроструктури, що за основу бере металографічні знімки високоміцного чавуну з кулястими включеннями. Описано алгоритм отримання функції розподілу включень на площині та процес побудови штучної мікроструктури на основі математичного очікування та дисперсії радіусів включень в залежності від їх концентрації. На основі отриманих моделей, для розрахунку складного напруженого стану при одночасній дії розтягуючих і зсувних навантажень, використовується серія віртуальних експериментів. Пружні константи матеріалу визначаються з використанням МСЕ із серії тестів на одновісний розтяг уздовж Х координати, Y координати, одночасний розтяг уздовж X та Y координатних осей, та зсув у площині XY. Отримано ймовірнісні характеристики модуля пружності, коефіцієнту Пуассона та модуля зсуву. Проведена перевірка отриманих результатів дослідження на достовірність, та надано результати з верифікації методу розрахунку. За допомогою тесту Шапіро-Вілки, перевірено гіпотези щодо нормального розподілу параметрів включень на площині. Четвертий розділ спрямований на визначення параметрів плинності матеріалу. На основі скінченно-елементних моделей проведені дослідження матеріалу при складному напруженому стані на плоских моделях. Визначені поверхні плинності для серії випробувань. Використано метод аналізу переходу матеріалу з пружного в пластичний стан застосовуючи ймовірнісні характеристики поверхонь плинності. Визначені статистичні параметри границі плину, як: математичне очікування, дисперсія та коефіцієнт варіації випадкової величини. Аналіз отриманих даних показує вплив концентрації включень на характеристики міцності матеріалу. У п’ятому розділі здійснено оцінку параметрів надійності та залишкового ресурсу насосу відцентрового типу, при нормальних умовах експлуатації та при гідровипробуваннях. Враховано зменшення товщини стінок корпусних деталей від ерозійно-корозійного зносу. На основі розробленої математичної моделі, проводиться оцінка поверхні плинності матеріалу корпусних деталей насосу з використанням даних його властивостей, отриманих у попередньому розділі. Аналіз конструкції проведено на макро- та мікрорівні. Виникнення пластичних деформацій на мікрорівні може призвести до розвитку тріщини та структурних руйнувань на макрорівні. У результаті дослідження визначена ймовірність виникнення пластичної деформації у контрольних точках, та встановлені зони, що вимагають ретельного контролю протягом усього терміну експлуатації обладнання. У Висновках зазначено науково-практичні задачі, що були розв’язані в роботі, викладені найбільш важливі наукові та практичні результати, надані відомості щодо впровадження результатів дослідження.Документ Дослідження резонансних стаціонарних режимів та перехідних процесів у нелінійних системах з обмеженою потужністю(Національний технічний університет "Харківський політехнічний інститут", 2023) Лебеденко, Яна ОлександрівнаДисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії за спеціальністю 113 – Прикладна математика. – Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут». – Україна, Харків, 2023. Об'єкт дослідження – динаміка систем з обмеженим збудженням в околі резонансу між частотами збудження та пружної підсистеми. Предмет дослідження – аналіз стаціонарних резонансних режимів коливань та перехідних процесів в системах з обмеженим збудженням, які моделюються динамічними системами з трьома степенями свободи. В дисертаційній роботі розглядається динаміка деяких систем з обмеженим збудженням в околі резонансу. До систем з обмеженим збудженням (або неідеальних систем) відносяться такі системи, де зворотній вплив пружних елементів системи на джерело енергії є суттєвим. Зокрема, до таких систем можна віднести системи, де потужність двигуна є не дуже значною. В таких системах збудження залежить від переміщень збудженої пружної підсистеми. На початку 20 сторіччя відомий німецький фізик А.Зоммерфельд вперше описав ефект значних резонансних коливань, коли значна частина енергії двигуна уходить на підтримання цих резонансних коливань, що заважає виходу двигуна на номінальні оберти. Вже в 50-ті роки минулого сторіччя відомий український вчений В.О. Кононенко дав перший аналітичний опис ефекту Зоммерфельда. Після цього дослідження в цьому напряму продовжував як В.О. Кононенко, так і інші вчені. Кількість робот з динаміки неідеальних систем значно поширилась в останні роки. В дисертаційній роботі розглянуто три моделі неідеальних систем. Одна з них – це модель, що містить джерело енергії, пружну підсистему та маятниковий гаситель коливань. Інші системи пов’язані з динамікою портальної системи (яка представлена пружною підсистемою), ротора та неврівноваженої маси в 3 якості гасителя. Для однієї моделі обрано суттєво нелінійний зв’язок між вказаною масою та портальною рамою, для іншої в цей зв’язок додано лінійну складову. Всі моделі описано нелінійними системами з 3 степенями свободи. Методом багатьох масштабів побудовано стаціонарні резонансні режими коливань систем, що розглядаються. Далі з використанням апроксимацій Паде побудовано перехідні процеси. За допомогою чисельного моделювання досліджується можливість зменшення резонансних пружних коливань шляхом зміни параметрів вказаних систем. В першому розділі дисертаційної роботи зроблено огляд історії досліджень систем з обмеженою потужністю та огляд сучасного стану цієї проблеми. Описано також проблему розвитку асимптотичних методів, які активно використовуються для аналітичного дослідження нелінійних систем. Зроблено також огляд проблеми гасіння коливань, здебільшого шляхом використання пасивних динамічних гасителів, серед яких можуть бути маятникові гасителі, елементи у вигляді ферми Мізеса, віброударні елементи, суттєво нелінійні осцилятори та ін. В другому розділі роботи дано опис основних моделей, що розглядаються, зокрема, представлено відповідні рівняння руху у вигляді нелінійних систем з 3 степенями свободи. Обговорюється введення в ці рівняння малого параметру, що важливо для подальшого використання асимптотичного аналізу. Дана інформація щодо ефективності методу багатьох масштабів, який використовується в роботі для побудови стаціонарних режимів руху, та апроксимацій Паде, які використано для побудови перехідних процесів. Представлена також інформація відносно комп’ютерних програм, які використовуються для моделювання стаціонарних та перехідних режимів та для вибору таких параметрів систем, які дозволяють зменшити амплітуди коливань. Третій розділ роботи присвячено побудові стаціонарних режимів руху систем з обмеженою потужність при наявності резонансу 1:1. Методом багатьох масштабів отримано амплітуди коливань як функції параметрів 4 системи, які можуть бути знайдені з системи нелінійних алгебраїчних рівнянь, яка розв’язується методом Ньютона. Зроблено порівняння отриманих аналітичних результатів з результатами чисельного моделювання, яке продемонструвало достатньо високу точність цих результатів. В четвертому розділі розглядається побудова перехідного процесу у вказаних вище системах. Вводяться нові змінні для ефективного представлення перехідних процесів; крім того, розв’язки рівнянь, отриманих раніше методом багатьох масштабів, представлено в степеневих рядах. Далі ці ряди використовуються при побудові дробно-раціональних апроксимацій Паде, що містять експоненти. При цьому використовується також додаткова умова наближення перехідних процесів до побудованих раніше стаціонарних резонансних режимів. Чисельне моделювання показало достатньо високу точність запропонованого представлення перехідного процесу. Комп’ютерне моделювання демонструє, що навіть при наявності інших резонансів, в розглянутих системах найважливішим є саме резонанс 1:1. П’ятий розділ роботи присвячено аналізу можливості зменшення амплітуд стаціонарних резонансних коливань шляхом зміни параметрів систем, що зроблено шляхом комп’ютерного моделювання. Виділено ті параметри, які є найбільш вагомі для вказаного зменшення амплітуд. Зокрема, для всіх розглянутих систем дуже важливим для цього виявився параметр нелінійності в характеристиках пружних елементів систем, що розглядаються. Саме зростання цього параметру приводить до суттєвого зменшення амплітуд пружних коливань.Документ Дослідження нелінійних нормальних форм коливань пов'язаних маятників під дією магнітних сил(Національний технічний університет "Харківський політехнічний інститут", 2024) Сурганова, Юлія ЕдуардівнаДисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії (PhD) за спеціальністю 113 – Прикладна математика. – Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут». – Україна, Харків, 2024. Об'єкт дослідження – нелінійна динаміка маятникових систем під впливом магнітного збудження. Предмет дослідження – побудова нелінійних нормальних форм коливань та аналіз їх стійкості; вплив зміни параметрів маятникової системи на форми коливань. В дисертаційній роботі досліджено форми (моди) коливань системи двох пружно пов’язаних маятників, розташованих у магнітному полі, причому маси цих маятників істотно розрізняються. Вказана істотна різниця в інерційних характеристиках розглянутої моделі призводить до ефекту локалізації коливань. У роботі досліджено нелінійні нормальні моди коливань маятникової системи з урахуванням опору середовища та моменту демпфування, створеного пружним елементом. Використано представлення магнітного впливу у вигляді як розривної, так і неперервної функцій. Розривну функцію магнітного впливу представлено апроксимацією Паде, що найбільшою мірою задовольняє експериментальні дані. Локалізовані та нелокальні (пов’язані) моди коливань отримано з використанням асимптотичних методів нелінійної динаміки, а саме, методу розкладання за малим параметром та методу багатьох масштабів, причому співвідношення моментів інерції маятників обрано як малий параметр. На основі чисельного моделювання проведено дослідження впливу зміни параметрів та початкових умов на динаміку системи, яка може бути як регулярною, так і складною, інколи схожою на хаотичну. Аналіз отриманих результатів чисельного моделювання дозволив сформулювати корисні практичні рекомендації щодо збереження регулярної поведінки (мод коливань) системи шляхом зміни її параметрів. Стійкість режимів коливань визначається за допомогою чисельного тесту, який пов’язаний з критерієм стійкості за Ляпуновим. У вступі обґрунтовано актуальність теми дослідження, зазначено використані методи, мету і завдання дослідження відповідно до предмета, об’єкта дослідження. Також подано загальну інформацію щодо наукової новизни отриманих результатів із зазначеними відмінностями одержаних результатів від відомих раніше. Наведені дані про особистий внесок здобувача та про апробацію матеріалів дисертації. У першому розділі представлено основні положення теорії та застосування нелінійних нормальних форм (мод) коливань. Додатково обґрунтовано взаємодію магнітного поля з елементами досліджуваної системи. Зазначений розділ також містить інформацію про асимптотичні методи нелінійної динаміки та методи дослідження стійкості руху динамічних систем. Отриманий аналітичний розв’язок порівнюється з результатами чисельного моделювання, що базується на методі Рунге–Кутти четвертого порядку. Початкові умови для чисельного розрахунку мод коливань визначаються аналітичним розв’язком. Представлено чисельні процедури, які використовуються в роботі. У другому розділі наведено дослідження мод коливань автономної системи пов’язаних маятників у полі магнітних сил без урахування дисипативних сил. Використовується представлення магнітного впливу у вигляді як розривної, так і неперервної функцій. У випадку розривної функції, де присутній стрибок, у рівняннях руху використано Паде– апроксимацію магнітного впливу. Суттєва нелінійність, присутня в системі, призводить до необхідності застосування саме асимптотичних методів для аналізу форм коливань. Чисельне моделювання проведено з використанням отриманого аналітичного рішення. Проведено дослідження впливу параметрів системи та початкових умов маятників на динаміку системи, яка може бути як регулярною, так і складною. Стійкість режимів коливань визначається за допомогою чисельного тесту, який пов’язаний з критерієм стійкості за Ляпуновим. При цьому стійкість досліджується шляхом оцінки ортогональних відхилень від відповідних модальних траєкторій у конфігураційному просторі системи. У третьому розділі описується дослідження локальної та синфазної форм коливань дисипативної системи двох пов’язаних маятників у магнітному полі. Як і у другому розділі, використовується два представлення магнітного впливу. Аналітичний розрахунок отриманий за допомогою методу багатьох масштабів, який успішно застосовується саме до дисипативних систем. Вплив параметрів системи на форми коливань досліджено як для малих, так і для значних початкових кутів нахилу маятників. Оцінка стійкості проводиться шляхом побудови траєкторій на фазовій і конфігураційній площинах, а також за допомогою чисельного тесту, що був описаний у другому розділі. За результатами дослідження отримано такі наукові результати: 1. Вперше проведено дослідження динаміки маятникової системи в полі магнітних сил, інерційні компоненти якої суттєво відрізняються. 2. Вперше досліджується стійкість мод коливань маятникової системи у полі магнітних сил. 3. Проаналізовано вплив зміни параметрів маятникової системи на регулярну та складну динаміку системи з представленням такої поведінки на фазовій площині та у конфігураційному просторі системи. 4. Знайдено такі області значень параметрів, які забезпечують існування стійкого локалізованого режиму коливань маятникової системи. Практичне значення отриманих результатів полягає у тому, що дослідження динаміки пружних систем у магнітному полі є вельми важливою проблемою саме в сучасній інженерній практиці, зокрема, у машинобудуванні, аерокосмічній техніці та ін. Важливим для застосувань є також дослідження можливості локалізації коливань. Розроблені методики дослідження можуть бути застосовані для розв’язання різноманітних інженерних задач, зокрема, задач гасіння коливань, а також для запобігання руйнування елементів машин та механізмів. Крім того, ці методики та отримані результати роблять внесок у загальну та прикладну теорію нелінійних коливань. The dissertation on competition of a scientific degree of Doctor of Philosophy (PhD), specialty 113 – Applied Mathematics. – National Technical University «Kharkiv Polytechnic Institute». – Ukraine, Kharkiv, 2024. Object of research is the nonlinear dynamics of pendulum systems under the influence of magnetic excitation. T he subject of research is to obtain nonlinear normal modes of vibration of the pendulum system; analysis of their stability, along with the influence of changes in system parameters on vibration mode. In the dissertation, the modes of vibrations of the system of two elastically connected pendulums located in a magnetic field are considered, and the masses of these pendulums differ significantly. The specified significant difference in inertial characteristics of the considered model leads to the effect of vibration localization. Nonlinear normal modes of vibrations of the pendulum system are investigated in the work, considering the restoring moments of the pendulums and the damping moment created by the elastic element. The representation of magnetic influence in the form of both discontinuous and continuous functions is considered. For the discontinuous magnetic function, the Padé approximation was used, which most satisfies the experimental data. Localized and non–local (coupled, or in–phase) modes of vibration are obtained using asymptotic methods of nonlinear dynamics, namely, the small parameter method and the multiple scales method when the mass ratio of pendulums is chosen as a small parameter. Based on numerical modeling a study of the influence of parameters and initial conditions on the system dynamics, which can be both regular and complex, was carried out. Analysis of the obtained results of numerical modeling allows the formulation of useful practical recommendations for saving of the regular behavior (vibration modes) of the system by changing its parameters. The stability of the vibration modes is determined using a numerical test, which is associated with the Lyapunov stability criterion. The introduction substantiates the relevance of the research topic and indicates the methods used, purpose and objectives of the study in accordance with the subject and object of the study. Also provided is general information on the scientific novelty of the results obtained with the indicated differences between the results achieved and those previously known. Further details are given on the personal contribution of the applicant and on the testing the dissertation materials. The first section presents the main provisions of the theory and application of nonlinear normal vibration modes. Additionally, the interaction of the magnetic field with the elements of the studied system is substantiated. This section also contains information on asymptotic methods of nonlinear dynamics and tools for investigating the stability of motion of dynamic systems. The application of presented asymptotic methods is demonstrated by an example of a system of two connected pendulums without considering the influence of magnetic excitation and restoring moments of the pendulums. The resulting analytical solution is compared with the results of numerical modeling based on the fourth–order Runge–Kutta method. Initial conditions for numerical calculation of modes of vibrations are determined by analytical solution. The numerical procedures used in the work are presented. In the second section, the study of the vibration modes of the autonomous system of coupled pendulums in the field of magnetic forces without considering dissipative forces is given. The magnetic impact representation is used in the form of both discontinuous and continuous functions. In the case of a discontinuous function where a jump is present, Padé approximation of magnetic action is used in the equations of motion. The significant nonlinearity present in the system leads to the need to use asymptotic methods for the analysis of vibration modes. Numerical modeling was carried out using the obtained analytical solution. A study of the influence of the system parameters and initial conditions of pendulums on the dynamics of the system, which can be both regular and complex, sometimes similar to chaotic one, has been carried out. The stability of the vibration modes is determined using a numerical test, which is associated with the Lyapunov stability criterion when the stability is investigated by assessment of orthogonal deviations from corresponding modal trajectories in the system configuration space. The third section describes the study of local and in–phase vibration modes of the dissipative system of two coupled pendulums in a magnetic field. As in the second section, two representations of magnetic influence are used. The analytical calculation was obtained using the multiple scales method, which is successfully applied to dissipative systems. The effect of system parameters on vibration modes has been investigated for both small and significant initial angles of pendulum inclination. The determination of stability is carried out by constructing trajectories on the phase and configuration planes using the numerical test described in the second section. Scientific novelty of the results: 1. For the first time, study of the dynamics of the pendulum system in the field of magnetic forces, the inertial components of which differ significantly. 2. For the first time, the stability of the vibration modes of the pendulum system in the field of magnetic forces is investigated. 3. The influence of changing the parameters of the pendulum system on the regular and complex dynamics of the system with the representation of such behavior on the phase plane and in the configuration space of the system is analyzed. 4. The following areas of parameter values were found to ensure the existence of a stable localized mode of vibration of the pendulum system. The practical significance of the obtained results lies in the fact that studying the dynamics of elastic systems in a magnetic field is significant problem in modern engineering practice, especially in mechanical engineering, aerospace engineering, etc. It is also significant to investigate the possibility of localizing vibrations. The developed research methods can be used to solve engineering problems, in particular, the problems of vibration dampeng, as well as to prevent the destruction of elements of machines and mechanisms. In addition, these techniques and the results obtained contribute to the general and applied theory of nonlinear vibrations.Документ Моделі і методи дослідження алгоритмів орієнтації для високодинамічних об'єктів(Національний технічний університет "Харківський політехнічний інститут", 2024) Гомозкова, Ірина ОлександрівнаМетою дисертаційної роботи є удосконалення математичного моделювання обертального руху твердого тіла за рахунок узагальнення методу аналітичних еталонних моделей, який базується на евристичному представленні кватерніона орієнтації у вигляді суперпозиції тригонометричних функцій лінійних кутів. Об'єкт дослідження – визначення орієнтації в бесплатформених інерціальних системах орієнтації. Предмет дослідження – моделювання обертального руху твердого тіла з використанням апарату кватерніонів і аналітичної механіки. У вступі доведено актуальність розробки моделей, які відтворюють специфічні типи кутового руху та оптимізації алгоритмів визначення орієнтації під такий рух об’єктів. Наведено зв’язок роботи з науковими програмами, планами і темами, наведено наукову новизну, представлено практичне значення отриманих результатів, надано інформацію щодо особистого внеску здобувача, представлено перелік публікацій за темою дисертації. У першому розділі детально описано принципи роботи обчислювального блоку безплатформенних інерціальних навігаційних систем, шлях їх розвитку та порівняння з іншими видами навігаційних систем. Наведено класифікацію існуючих алгоритмів визначення орієнтації. Перераховано джерела помилок, які виникають в таких системах та методики їх компенсації. Проаналізовано існуючі методи моделювання та тестування роботи обчислювального блоку. Обґрунтовано доцільність оптимізації безплатформенних систем навігації під характеристики руху сучасних об’єктів, приведено чисельну реалізацію моделей у вигляді траєкторій в конфігураційному просторі та залежностей від часу. У другому розділі описано принципи, за якими виконується математичне моделювання роботи обчислювального блоку безплатформенних систем навігації. Перераховано вимоги, які висуваються до таких моделей, враховуючи їх залежність від ступенів вільності об’єкта, який обертається. Сформовано основні задачі дисертаційної роботи. Побудовано нові еталонні моделі, які реалізують обертальний рух об’єкта та шляхом чисельного моделювання доведено, що кожна з них реалізує унікальні характеристики кутового руху, відмінні від класичних. Отримано розв’язки відповідних кінематичних рівнянь та системи динамічних рівнянь Ейлера. Останні грають важливу роль у задачах керування та переорієнтації об’єктів. У третьому розділі проведено оцінку точності роботи двох алгоритмів визначення орієнтації 4-го порядку точності. На основі отриманого результату, для подальшої реалізації обрано алгоритм Міллера. Знайдено нові значення параметрів цього алгоритма, за яких похибка дрейфу є меншою, ніж за класичних значень. Описано фактори, які призводять до зменшення фактичної точності алгоритма в порівнянні з математичною. Досліджено для розроблених моделей кутового руху значення модулів кутової швидкості, за яких досягається обрана точність алгоритма визначення орієнтації. У четвертому розділі сформовано чіткі характеристики високоманевреного об’єкта та доведено, що одна з розроблених моделей дозволяє відтворювати такий тип руху. Для цієї моделі знайдено ще один набір параметрів алгоритма Міллера, які у випадку високої швидкості обертання пристрою дають похибку дрейфа, меншу на 10-7 рад порівняно з класичними значенями параметрів (𝛼=3380; 𝛽=5780). Доведено, що нові чотирьохчастотні моделі враховують в собі вплив вібраційного оточення у вигляді гармонійних коливань. Для даного випадку знайдено нові, оптимізовані конкретно під такі умови параметри алгоритма Міллера. У п’ятому розділі описано програмний застосунок, розроблений для чисельної реалізації моделей. Написано програму мовою С++ з використанням елементів об’єктно-орієнтованого програмування. Вихідні дані автоматично записуються до Exel-файлу. В цьому ж файлі виконується побудова відповідних графіків залежностей. Перераховано основні вимоги для встановлення застосунку на кожному конкретному присторої. Описано характеристики та обмеження вхідних умов, необхідних для реалізації обчислень. У висновках перераховано головні результати наукової роботи, які є розв’язками сформованих теоретичних та прикладних задач дослідження. За результатами дослідження отримано такі наукові результати: 1. Розроблено сім нових еталонних кватерніонних моделей, які реалізують типи руху, відмінні від конічного обертання та регулярної прецесії. 2. Оптимізовано алгоритм визначення орієнтації Міллера, шляхом визначення трьох нових наборів параметрів та показано, за яких характеристик руху слід використовувати кожен з них. 3. Запропоновано механізм визначення реалізованого порядку точності алгоритма орієнтації. Для отриманих моделей кутового руху визначено найменше значення модуля кутової швидкості, за якого реалізована та математична точність алгоритма Міллера будуть рівними та відповідатимуть 4-му порядку. 4. Доведено, що одна з моделей реалізує рух об’єкта, який має високу кутову динаміку (обертання навколо однієї з осей більше 20 обертів в секунду). Вказано, що модуль кутової швидкості моделі при цьому має бути більший за 15 рад/сек. 5. Описано принцип роботи розробленого програмного доданку, який дозволяє проводити чисельні експерименти та отримувати візуалізацію обраного кутового руху. Результати отримуються у вигляді таблиці та відповідних графіків в Exel. Дослідження, результати яких викладені в дисертаційній роботі, виконані на кафедрі «Комп’ютерне моделювання процесів та систем» НТУ «ХПІ» відповідно до завдань держбюджетної теми МОН України (номер державної реєстрації проекту 0116U000875) за темою «Створення теоретичних основ для методів довговічності елементів конструкцій аерокосмічної техніки та точності систем управління рухом» (термін виконання 2018-2019 рр), в яких здобувач був виконавцем окремих етапів. Робота виконувалась у рамках проекту DAAD "Ukraine Digital: Studienerfolg in Krisenzeiten sichern (2022-2023)" (Німеччина). Результати дослідження підтвердили практичну та теоретичну цінність розроблених моделей та адаптацій алгоритму Міллера для складних кутових рухів, надано практичні рекомендації, щодо оптимальних значень модуля кутової швидкості, за яких реалізований порядок точністі алгоритма відповідає 4-му. The aim of the dissertation work is an improvement of the mathematical modeling of the rotational motion of a rigid body due to the generalization of the method of analytical reference models, which is based on the heuristic representation of the orientation quaternion in the form of a superposition of trigonometric functions of linear angles. The object of research is determination in strapdown inertial orientation systems. The subject of research is the simulation of the rotational motion of a rigid body using the quaternion apparatus and analytical mechanics. The introduction proves the relevance of developing models that reproduce specific types of angular movement and optimizing algorithms for determining the orientation for such movement of objects. The connection of the work with scientific programs, plans and topics is given, scientific novelty is given, the practical significance of the obtained results is presented, information is provided about the personal contribution of the recipient, a list of publications on the topic of the dissertation is presented. The first chapter describes in detail the principles of operation of the computing unit of platformless inertial navigation systems, the way of their development and comparison with other types of navigation systems. The classification of existing orientation determination algorithms is presented. Sources of errors that occur in such systems and methods of their compensation are listed. The existing methods of modeling and testing the operation of the computing unit are analyzed. The expediency of optimizing platformless navigation systems for the characteristics of the movement of modern objects is substantiated, the numerical implementation of models in the form of trajectories in the configuration space and time dependencies is given. The second chapter describes the principles by which mathematical modeling of the computing unit of platformless navigation systems is performed. The requirements for such models are listed, taking into account their dependence on the degrees of freedom of the rotating object. The main tasks of the dissertation have been formulated. New reference models have been built that realize the rotational motion of the object, and it has been proven through numerical simulation that each of them realizes unique characteristics of angular motion, different from the classical ones. The solutions of the corresponding kinematic equations and the Euler system of dynamic equations were obtained. The latter play an important role in the management and reorientation of objects. In the third section, the accuracy of two algorithms for determining the orientation of the 4th order of accuracy is evaluated. Based on the obtained result, Miller's algorithm was chosen for further implementation. New values of the parameters of this algorithm were found, for which the drift error is smaller than for classical values. The factors that lead to a decrease in the actual accuracy of the algorithm compared to the mathematical one are described. The values of the angular velocity modules, which achieve the chosen accuracy of the orientation determination algorithm, were studied for the developed angular motion models. In the fourth chapter, clear characteristics of a highly maneuverable object are formed and it is proved that one of the developed models allows to reproduce this type of movement. For this model, another set of parameters of the Miller algorithm was found, which in the case of a high rotation speed of the device give a drift error smaller by 10-7 rads compared to the classical parameter values ( 𝛼=3380; 𝛽=5780). It has been proven that the new four-frequency models take into account the influence of the vibrating environment in the form of harmonic oscillations. For this case, new parameters of the Miller algorithm were found, specifically optimized for such conditions. The fifth chapter describes the software application developed for the numerical implementation of the models. The program was written in the C++ language using elements of object-oriented programming. The output data is automatically saved to an Excel file. In the same file, construction of the corresponding graphs of dependencies is performed. The basic requirements for installing the application on each specific device are listed. The characteristics and limitations of the input conditions necessary for the implementation of calculations are described. The conclusions list the main results of the scientific work, which are solutions to the formed theoretical and applied research problems. According to the results of the research, the following scientific results were obtained: 1. Seven new reference quaternion models have been developed that implement types of motion other than conical rotation and regular precession. 2. Miller's orientation determination algorithm was optimized by defining three new sets of parameters and showing under which movement characteristics each of them should be used. 3. A mechanism for determining the implemented accuracy order of the orientation algorithm is proposed. For the received models of angular motion, the smallest value of the angular velocity module is determined, for which the implemented and mathematical accuracy of the Miller algorithm will be equal and correspond to the 4th order 4. I It has been proven that one of the models realizes the movement of an object that has high angular dynamics (rotation around one of the axes is more than 20 revolutions per second). It is indicated that the angular velocity module of the model should be greater than 15 rad/sec. 5. The principle of operation of the developed software application is described, which allows you to conduct numerical experiments and obtain a visualization of the selected angular motion. The results are obtained in the form of a table and corresponding graphs in Excel. The research, the results of which are presented in the dissertation, was carried out at the Department of "Computer Modeling of Processes and Systems" of NTU "KhPI" in accordance with the tasks of the state budget topic of the Ministry of Education and Culture of Ukraine (state registration number of the project 0116U000875) on the topic "Creation of theoretical foundations for methods of durability of structural elements of aerospace engineering and accuracy of motion control systems" (implementation period 2018-2019), in which the acquirer was the executor of individual stages. The work was carried out within the DAAD project "Ukraine Digital: Studienerfolg in Krisenzeiten sichern (2022-2023)" (Germany). The results of the study confirmed the practical and theoretical value of the developed models and adaptations of Miller's algorithm for complex angular movements, practical recommendations were given regarding the optimal values of the angular velocity module, for which the implemented order of accuracy of the algorithm corresponds to the 4th.