Коливання степенево-нелінійного осцилятора, спричинені силовим імпульсом

Abstract

Розглянуто коливання осцилятора зі степеневою характеристикою пружності при дії миттєво прикладеної сталої сили (ступінчастого імпульсу) та сили обмеженої тривалості дії (прямокутного імпульсу). Одержано аналітичні розвʼязки задачі Коші для нелінійного диференціального рівняння другого порядку. Вони виражені через спеціальні періодичні Ateb-функції. Запропоновано апроксимації цих спеціальних функцій, які ґрунтуються на тригонометричній інтерполяції. Показано, що коефіцієнт динамічності осцилятора залежить від показника нелінійності і попадає в інтервал (1; e) , де e – основа натурального логарифма. Він більше двох при мʼякій характеристиці пружності і менший двох – у випадку жорсткої характеристики. Встановлено тривалості дії імпульсу, при яких амплітуди вільних коливань розвантаженого осцилятора мають екстремальні значення. Ці тривалості залежать не тільки від маси і жорсткості пружного осцилятора, а також від величини миттєво прикладеної сили. Наведено приклади розрахунків, які ілюструють можливості викладеної теорії.Vibrations of an oscillator with power elasticity characteristic under the influence of an instantaneously applied constant force (step-function signal) and a force of limited duration (rectangular pulse) are studied. The analytical solutions of the Cauchy problem for the nonlinear second order differential equation are obtained. The solutions are expressed in terms of special periodic Ateb-functions. The approximations of these special functions based on trigonometric interpolation are presented. The oscillator dynamicity factor is shown to depend on the power of the nonlinearity an belong to the interval (1; e), e being the base of the natural logarithm. The factor is greater than two for a mild elasticity characteristic and is less than two for a rigid one. The pulse durations causing extreme values of the amplitudes of free vibrations of an unloaded oscillator are determined. These durations depend on the value of the instantaneously applied force as well as on the mass and rigidity of the elastic oscillator. The computation examples illustrating the theory proposed are presented.