Бiфуркацiї та стiйкiсть нелiнiйних коливань балочних конструкцiй з трiщинами втоми

Abstract

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiлософiї за спецiальнiстю 113 — Прикладна математика. — Нацiональний технiчний унiверситет «Харкiвський полiтехнiчний iнститут», Харкiв, 2025. Об’єкт дослiдження — нелiнiйна динамiка балочних конструкцiй з трiщинами втоми. Предмет дослiдження — побудова математичних моделей для опису нелiнiйних коливань балок з трiщинами втоми та аналiзу їх бiфуркацiйної поведiнки. В дисертацiйнiй роботi дослiджено нелiнiйнi коливання балок з дихаючими трiщинами втоми. Дихання трiщин викликають змiни в жорсткостi конструкцiї, що призводить до суттєвих нелiнiйних ефектiв. Показано можливiсть переходу до хаосу коливань балок з двома трiщинами втоми на малих амплiтудах коливань, внаслiдок бiфуркацiї подвоєння перiоду. Розглянуто задачу про геометрично нелiнiйнi коливання балки з трiщиною втоми. За допомогою варiацiйних принципiв Остроградського–Гамiльтона таХу–Вашизу отримано диференцiальнi рiвняння коливань балки з трiщиною втоми. Дослiджено нелiнiйнi нормальнi форми вiльних коливань, їх стiйкiстьта бiфуркацiї. Проведено аналiз вимушених коливань балки з трiщиною втоми при геометрично нелiнiйному деформуваннi, показано можливiсть виникнення замкнених петель на частотних вiдгуках та проаналiзовано встановленi режими коливань в областi бiфуркацiї Неймарка–Сакера. Дослiджено параметричнi коливання балки з трiщиною втоми, де враховано ефекти нелiнiйної кривини та нелiнiйної iнерцiї. Проаналiзовано динамiку в областi бiфуркацiї Неймарка–Сакера та встановлено можливiсть переходу до хаотичних коливань балки з трiщиною втоми. Досiлджено вплив лiнiйної дисипацiї на бiфуркацiйну поведiнку балки з трiщиною втоми. Для проведення чисельних дослiджень розроблено та вдосконалено чисельнi методи продовження по параметру за допомогою методики автоматичного диференцiювання. Запропоновано алгоритм розрахунку спектру показникiв Ляпунова з використанням дуальних чисел.The dissertation on competition of a scientific degree of doctor of philosophy, speciality 113 –– Applied mathematics. –– National Technical University ”Kharkiv Polytechnic Institute”, Kharkiv, 2025. Research Object is the nonlinear dynamics of beam structures with fatigue cracks. The research Subject is the construction of mathematical models for describing nonlinear vibrations of beams with fatigue cracks and analyzing their bifurcation behavior. The dissertation investigates the nonlinear vibrations of beams with breathing fatigue cracks. The crack breathing causes changes in the stiffness of the structure, leading to significant nonlinear effects. The possibility of transition to chaotic dynamics in the vibrations of beams with two fatigue cracks at small amplitudes is shown. The chaotic phenoma occured due to the period doubling bifurcation. The problem of geometrically nonlinear vibrations of a beam with a fatigue crack is considered. Using the Hamilton and Hu–Washizu variational principles, differential equations for the vibrations of a beam with a fatigue crack are derived. Nonlinear normal modes of free vibrations, their stability, and bifurcations are investigated. An analysis of forced vibrations of a beam with a fatigue crack under geometrically nonlinear deformation is conducted. The possibility of closed loops (isolas) creation on frequency responses is shown. The established vibration regimes in the region of Neimark–Sacker bifurcation is analyzed. Parametric vibrations of a beam with a fatigue crack are studied, taking into account the effects of nonlinear curvature and nonlinear inertia. The dynamics in the region of Neimark–Sacker bifurcation is analyzed, and the possibility of transitioning to chaotic vibrations of the beam with a fatigue crack is established. The effect of linear dissipation on the bifurcation behavior of the beam with a fatigue crack is investigated. Numerical continuation methods have been developed and improved using the automatic differentiation. An algorithm for calculating the Lyapunov spectrum via dual numbers is proposed.