Determination of parameter-limited estimates of extreme value distributions and modeling of conditions for their occurrence using STATGRAPHICS and MATLAВ

Abstract

Research objective is to estimate the parameters of extreme value distribution laws constrained by parameters using the maximum likelihood method and to model the conditions of their occurrence with STATGRAPHICS and MATLAB tools. The subject of the study includes Anscombe's quartet and the first (Gumbel), second (Fréchet), and third (Weibull) laws of extreme value distribution. The research method involves numerical methods for solving systems of equations obtained by the maximum likelihood method, as well as statistical modeling techniques. The results of research show, through the example of statistical data analysis of Anscombe's quartet, the necessity of verifying the correspondence between the physical content of the studied processes and the applicability of extreme value distribution laws for their analysis. The linear regression equation, which corresponds to all possible combinations of this quartet’s data, is not optimal according to the criterion of maximum coefficient of determination. Using this criterion, it has been established that different data pairs have different nonlinear regression equations. Ignoring this fact may lead to errors in managing the processes they model. It has been shown that the data presented in Anscombe's quartet follow Gumbel's law, although the construction scheme of Anscombe's quartet does not correspond to the conditions of its occurrence. The limiting laws of extreme value distribution are presented in a form convenient for practical application in the design of engineering structures with constraints on the parameters of these distributions, caused by the specifics of the design. Parameter estites of extreme value distribution laws were performed using the maximum likelihood method. Мета дослідження: визначення методом максимуму правдоподібності оцінок параметрів законів розподілу екстремальних величин, обмежених за параметрами та моделювання умов їх виникнення засобами STATGRAPHICS і MATLAВ. Предмет дослідження: квартет Енскомба, перший (Гумбеля), другий (Фреше), третій (Вейбулла) закони розподілу екстремальних значень. Метод дослідження: чисельні методи розв’язання систем рівнянь, отриманих за методом максимуму правдоподібності, методи статистичного моделювання. Отримані результати: на прикладі статистичного аналізу даних квартету Енскомба показана необхідність перевірки відповідності фізичного змісту процесів, що вивчаються, можливостям застосування для їх аналізу законів розподілу екстремальних значень. Рівняння лінійної регресії, яке відповідає всім можливим комбінаціям даних цього квадрата, не є оптимальним по критерію максимуму коефіцієнта детермінації. При застосуванні цього критерію встановлено, що різні пари даних мають різні рівняння нелінійної регресії. Ігнорування цієї обставини може привести до помилок в управлінні процесами, які вони моделюють. Показано, що дані, які наведено в квартеті Енскомба, розподілені згідно із законом Гумбеля, хоча схема побудови квартету Енскомба не відповідає умовам його появи. Граничні закони розподілу екстремальних значень представлено у вигляді, зручному для застосування в практиці проєктування інженерних споруд з обмеженнями на параметри цих розподілів, які викликано особливостями проєктування. Оцінки параметрів законів розподілу екстремальних значень виконували за методом максимуму правдоподібності. Розглянуто чисельний метод розв’язання відповідних систем рівнянь.